立体几何中的向量方法求夹角

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,ZPZ,3.2.4立体几何中的向量方法,空间“角度”问题,1.,异面直线所成角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为,则,复习引入,1.,两条异面直线所成的角,(1),定义,:,设,a,b,是两条异面直线,过空间任一点,O,作直线,a a,b b,则,a,b,所夹的锐角或直角叫,a,与,b,所成的角,.,(2),范围,:,(3),向量求法,:,设直线,a,、,b,的方向向量为,其夹角,为,则有,(4),注意,:,两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角,.,空间三种角的向量求解方法,例,2,解：以点,C,为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,题后感悟,如何用坐标法求异面直线所成的角？,(1),建立适当的空间直角坐标系；,(2),找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；,(3),利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；,(4),结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（,2,），设二面角 的大小为,其中,AB,D,C,L,B,A,2,、二面角,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,L,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，,则二面角 的大小 ,2,、二面角,若二面角 的大小为,则,法向量法,B,D,C,A,3.,二面角,(1),范围,:,(2),二面角的向量求法,:,若,AB,、,CD,分别是二面角 的两个面内与棱,l,垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 与 的夹角,(,如图,(1),设 是二面角 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角,(,或其补角,),就是二面角的平面角的大小,(,如图,(2),(1),(2),例,2,正三棱柱 中，,D,是,AC,的中点，当 时，求二面角,的余弦值。,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,以,C,为原点建立空间直角坐标系,C-xyz,在坐标平面,yoz,中,设面 的一个法向量为,同法一，可求,B(0,1,0),可取 ,(1,0,0),为面 的法向量,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,由 得,解得,所以，可取,二面角 的大小等于,cos =,即二面角 的余弦值为,方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角,设平面,如图所示，正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的所有棱长都为,2,，,D,为,CC,1,的中点，求二面角,A,A,1,D,B,的余弦值,策略点睛,题后感悟,如何利用法向量求二面角的大小？,(1),建立适当的空间直角坐标系；,(2),分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；,(3),求出两个法向量的夹角；,(4),判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；,(5),确定出二面角的平面角的大小,A,B,n,3.,线面角,设,n,为平面 的法向量，直线,AB,与平面 所成的角为 ，向量 与,n,所成的角为 ，,则,n,而利用 可求 ，,从而再求出,3.,线面角,l,设直线,l,的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为,(),则,2.,直线与平面所成的角,(1),定义,:,直线与它在这个平面内的射影所成的角,.,(2),范围,:,(3),向量求法,:,设直线,l,的方向向量为,平面的法,向量为,直线与平面所成的角为,与 的,夹角为,则有,N,解：如图建立坐标系,A-xyz,则,即,在长方体 中，,例,1,：,N,又,在长方体 中，,例,1,：,例,2,、如图，在四棱锥,S-ABCD,中，底面,ABCD,为平行四边形，侧面,SBC,底面,ABCD,。已知,AB=2,，,BC=,，,SA=SB=.,(1),求证,(2),求直线,SD,与平面,SAB,所成角的正弦值。,S,A,B,C,D,O,x,y,z,【,典例剖析,】,例,3,如图,在四棱锥,PABCD,中，底面,ABCD,为矩形，侧棱,PA,底面,ABCD,，,PA=AB=1,AD=,，在线段,BC,上是否存在一点,E,使,PA,与平面,PDE,所成角的大小为,45,0,?,若存在，确定点,E,的位置；若不存在说明理由。,【,典例剖析,】,D,B,A,C,E,P,x,z,y,解：以,A,为原点，,AD,、,AB,、,AP,所在的直线分别为,X,轴、,Y,轴、,Z,轴，建立空间直角坐标系，,设,BE=m,，则,2,、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是,a=,（,1,，,0,，,1,），,b=,（,0,，,1,，,1,），那么这条斜线与平面所成的角是,_.,3,、已知两平面的法向量分别,m=(0,1,0),n=(0,1,1),，则两平面所成的钝二面角为,_.,基础训练,:,1,、已知,=(2,2,1),=(4,5,3),则平面,ABC,的一个法向量是,_.,60,0,135,0,【,巩固练习,】,1,三棱锥,P-,ABC PAABC,PA=AB=AC,E,为,PC,中点,则,PA,与,BE,所成角的余弦值为,_.,2,直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,A,1,A=2,AB=AC=1,则,AC,1,与截面,BB,1,CC,1,所成,角的余弦值为,_.,3,正方体,中,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,为,A,1,D,1,的,中点,则二面角,E-BC-A,的大小是,_,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（,1,）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（,2,）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（,3,）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形问题）,小结：,小结：,1.,异面直线所成角,学,.,科,.,网,：,2.,直线与平面所成角：,3.,二面角：,关键：观察二面角的范围,