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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高 等 数 学,主讲人,宋从芝,河北工业职业技术学院,本讲概要,函数,单调性,函数极值的定义,函数极值的判定和求法,3.3 函数的单调性和极值,设函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上连续，在(,a,b,)内可导，,定理,一.函数的单调性,且,（或,），则,f,(,x,),在,a,b,上,是单调,增加（或单调减少）。,例1,判定函数 的单调性。,函数,f,(,x,),在定义域,(-,0)(0,+),内连续，,f,(,x,),在,(-,0)(0,+),内都是单调增加的。,由函数的单调性的判定定理，得,解,例2,判定函数 的单调性。,函数,f,(,x,)的,定义域为,(,-,+,),，,则,f,(,x,),在,(,-,0,),内单调减少。,解,在,(,-,0,)，,则,f,(,x,),在,(,0,+,),内单调增加。,在,(,0,+,)，,(3),以这些点为分界点,，,将定义域分为若干个,子区间,列表判断,各个区间内,f,(,x,),的符号，从而判,定出,f,(,x,),的单调性,.,求函数的单调性的步骤：,(1),确定函数的定义域；,(2),求出使,f,(,x,)=0,和,f,(,x,),不存在的点,；,例3,求函数,的单调区间。,定义域为,(,-,+,),解,练习,求函数,的单调区间。,定义域为,(,-,+,),解,列表,例4,判定函数 的单调性。,函数的,定义域为,(,-,+,),解,内单调增加。,函数,在,(,-,+,),注意,在,(,a,b,),内的有限个点处为零，而在,如果,其余点处均为正，则,f,(,x,),在,(,a,b,),内仍是单调增加的。,如果对于,x,0,近旁的任意,x,(,x,x,0,),，,设函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有定义，,x,0,是,(,a,b,),内的,二.函数极值的定义,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个,极大值,，,定义,则,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个,极小值,，,一个点。如果对于,x,0,近旁的任意,x,(,x,x,0,),，,f,(,x,),f,(,x,0,),均成立，,做,f,(,x,),的一个,极大点,。,点,x,0,叫,函数的极大值与极小值统称为极值。,使得函数取得极值的极大点与极小点统称为极值点。,下图中找到函数,f,(,x,),在,a,b,的极值、最值。,极值是,局部性,的概念，最值是,整体性,的概,念。,极值不唯一，最值唯一；,函数极值一定在区间的,内部,，在区间的端,点处不能取得极值；,说明：,函数的极大值不一定比极小值,大,；,而函数的最大值和最小值可能出现在区间的,内部，也可能出现在区间的端点处。,设函数,f,(,x,),在点,x,0,可导，且在,x,0,取得极,三.函数极值的判定和求法,使导数为零的点（即方程,定义,定理,值，则函数,f,(,x,),在点,x,0,的导数,根）称为函数,f,(,x,),的驻点。,的实,定理,2（极值判定定理一）,当,x,x,0,时，,，,当,x,x,0,时，,，,在,x,0,两侧，,不变号，则,f,(,x,0,),不是函数的,可导，且,如果,设函数,f,(,x,),在点,x,0,近旁,则,f,(,x,0,),是函数的极大值；,则,f,(,x,0,),是函数的极,小,值；,极值,。,可能的极值点,x,0,：,思考,:,驻点,不可导点,判定函数的单调性和极值的步骤：,求定义域；,求出一阶导，找到可能的极值点；,列表讨论,:,用,极值的判定定理一,判定子区间内的单调性，检查可能的极值点两侧单调性的变化：,如果由增变减，则是极大值；,如果由减变增，则是极小值。,如果两侧单调性不变，则不是极值。,例5,求函数,的极值。,定义域为,(,-,+,),解,利用极值判定定理一通过列表讨论如下：,极大值,极小值,1,3,则函数的极大值 ，极小值为,例6,求函数,的极值。,定义域为,(,-,+,),解,利用极值判定定理一通过列表讨论如下：,则极小值 ，,无极值,极小值,0,无极值,不是极值点。,函数,单调性,函数极值的定义,函数极值的判定和求法,小结,作业,习题,3.4,1,(2)(3),Thank You!,
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