函数的解析式与定义域

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,共 57 页,*,第五讲函数的解析式与定义域,2,(1),函数的定义域是指,使函数有意义的自变量的取值范围,(2),根据函数解析式求函数定义域的依据是,分式的分母不得为,0,；,偶次方根的被开方数不得小于,0,；,对数函数的真数必须大于,0,；,指数函数和对数函数的底数必须大于,0,且不等于,1,；,三角函数中的正切函数,y,tan,x,(,x,R,，且,x,k,，,k,Z,),，余切函数,y,cot,x,(,x,R,，,x,k,，,k,Z,),等,(3),已知,f,(,x,),的定义域为,a,，,b,，求,f,g,(,x,),的定义域，是指,满足,a,g,(,x,),b,的,x,的取值范围,，已知,f,g,(,x,),的定义域是,a,，,b,指的是,x,a,，,b,(4),实际问题或几何问题给出的函数的定义域：,这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义,(5),如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是,使各部分式子都有意义的实数集合,(6),求定义域的一般步骤：,写出函数式有意义的不等式,(,组,),；,解不等式,(,组,),；,写出函数的定义域,答案：,C,2,设函数,y,f,(,x,),的图象关于直线,x,1,对称，在,x,1,时，,f,(,x,),(,x,1),2,1,，则,x,1,时，,f,(,x,),的解析式为,(,),A,f,(,x,),(,x,3),2,1 B,f,(,x,),(,x,3),2,1,C,f,(,x,),(,x,3),2,1 D,f,(,x,),(,x,1),2,1,解析：,当,x,1,时，,f,(,x,),(,x,1),2,1,的对称轴为,x,1,，最小值为,1,，又,y,f,(,x,),关于,x,1,对称，故在,x,1,时，,f,(,x,),的对称轴为,x,3,且最小值为,1.,故选,B.,答案：,B,答案：,C,答案：,C,答案：,B,类型一求函数的解析式,解题准备：,求函数的解析式一般有四种情况：,1,根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式,2,当题中给出函数特征，求函数解析式时，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设为,f,(,x,),ax,2,bx,c,(,a,0),，其中,a,、,b,、,c,是待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出,a,、,b,、,c,的值即可,3,换元法求解析式，,f,R,(,x,),g,(,x,),，求,f,(,x,),的问题，往往可设,R,(,x,),t,，从中解出,x,，代入,g,(,x,),进行换元来解,分析,求复合函数的解析式一般用代入法，只需替换自变量,x,的位置即可,点评,求解分段函数的有关问题，应注意,“,里,”,层函数的值域充当,“,外,”,层函数的定义域，应分段写出函数的解析式,分段函数是一个整体，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式,探究：,(1),已知,f,(,x,2),3,x,5,，求,f,(,x,),(2),已知,f,(1,cos,x,),sin,2,x,，求,f,(,x,),(3),已知,f,(,x,),是二次函数，若,f,(0),0,，且,f,(,x,1),f,(,x,),x,1,，试求,f,(,x,),的表达式,解析：,(1),令,t,x,2,，则,x,t,2,，,t,R,由已知有：,f,(,t,),3(,t,2),5,3,t,1,故,f,(,x,),3,x,1.,(2),f,(1,cos,x,),sin,2,x,1,cos,2,x,令,1,cos,x,t,则,cos,x,1,t,1,cos,x,1,，,0,1,cos,x,2,，,0,t,2,f,(,t,),1,(1,t,),2,t,2,2,t,，,(0,t,2),故,f,(,x,),x,2,2,x,，,(0,x,2),点评,已知,f,g,(,x,),是关于,x,的函数，即,f,g,(,x,),F,(,x,),，求,f,(,x,),的解析式，通常令,g,(,x,),t,，由此能解出,x,(,t,),；将,x,(,t,),代入,f,g,(,x,),F,(,x,),中，求得,f,(,t,),的解析式；再用,x,替换,t,，便得,f,(,x,),的解析式注：换元后注意确定新元,t,的取值范围,利用待定系数求解析式时，主要寻求恒等关系解出等式中的未知数,点评,求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取交集时可借助于数轴，并且要注意端点值或边界值的取舍,类型三求抽象函数的定义域,解题准备：,抽象函数的定义域,对于无解析式的函数的定义域问题，要注意如下几点：,1,f,g,(,x,),的定义域为,a,，,b,，指的是,x,的取值范围为,a,，,b,，而不是,g,(,x,),在范围,a,，,b,内，如,f,(3,x,1),的定义域为,1,2,，指的是,f,(3,x,1),中的,x,的范围是,1,x,2.,2,f,g,(,x,),与,f,h,(,x,),联系的纽带是,g,(,x,),与,h,(,x,),的值域相同,类型四函数的建模应用,解题准备：,由实际问题抽象出函数关系式，就是用函数知识解决实际问题的基础解这类题的一般步骤是：,设元；,列式；,用,x,表示,y,；,考虑定义域,(,这个定义域必须使实际问题有意义,),【,典例,4】,某厂生产某种零件，每个零件的成本为,40,元，出厂单价为,60,元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过,100,个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低,0.02,元，但实际出厂单价不能低于,51,元,(1),当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰为,51,元；,(2),设一次订购量为,x,个，零件的实际出厂价为,p,元，写出,p,f,(,x,),的表达式；,(3),当销售商一次订购,500,个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购,1000,个，利润又是多少元？,(,工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本,),分析,关键是利用条件建立函数模型解决,快速解题,技法,(,青岛模拟,),设函数,f,(,n,),k,(,其中,n,N,*,),，,k,是,的小数点后的第,n,位数字，,3.1415926535,，则,_.,快解：,从表面上，进行,100,次求值较繁锁，故可通过内层的一组求值探求规律,f,(10),5,，,f,(5),9,，,f,(9),3,，,f,(3),1,，,f,(1),1,，,从此以后均为,f,(1),1,，,故原式的值为,1.,答案：,1,