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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.3,初等函数,一、指数函数,二、对数函数,三、乘,幂与,幂函数,四、,三角函数和双曲函数,五、反三角函数和反双曲函数,六、小结与思考,1,、,指数函数,1.,定义,如果函数,f,(,z,),满足下列三个条件,:i)e,z,不等于零,且,|exp,z,|=e,x,;ii),当,Im(,z,)=0,时,f,(,z,)=e,x,其中,x,=Re(,z,),；,iii),f,(,z,),在复平面内解析，且,f,(,z,)=,f,(,z,),。,称,f,(,z,),为,指数函数,2.,性质,i),在复平面处处解析的函数,且有,f,(,z,)=,f,(,z,),当,y,=0,时,f,(,z,)=e,x,.,记作,exp,z,=e,x,(cos,y,+,i,sin,y,).,等价于关系式,:,|exp,z,|=e,x,Arg(exp,z,)=,y,+2,k,p,所以,exp,z,0.,ii),exp,z,服从加法定理,:exp,z,1,exp,z,2,=exp(,z,1,+,z,2,),事实上,设,z,1,=,x,1,+,iy,1,z,2,=,x,2,+,iy,2,按定义有,i,iii)exp,z,的周期性,它的周期性是,2,k,p,i,即,e,z,+2,k,p,i,=e,z,e,2,k,p,i,=e,z,其中,k,为任何整数,.,注意,：为了方便,往往用,e,z,代替,exp,z,.,这里的,e,z,没有幂的意义,仅仅作为代替,exp,z,的符号使用。,2,、对数函数,1.,定义,对数函数定义为指数函数的反函数,.,将满足方程,e,w,=,z,(,z,0),的函数,w,=,f,(,z,),称为,对数函数,.,令,w,=,u,+,iv,z,=,r,e,i,q,则,e,u,+,iv,=,r,e,i,q,所以,u,=ln,r,v,=,q,.,因此,w,=ln|,z,|+,i,Arg,z,由于,Arg,z,为多值函数,所以对数函数,w,=,f,(,z,),为多值函数,并且每两个值相差,2,p,i,的整数倍,记作,2.,公式,Ln,z,=ln|,z,|+,i,Arg,z,主值,ln,z,=ln|,z,|+,i,arg,z,而其余,各值可由,Ln,z,=ln,z,+2,k,p,i,(,k,=1,2,.)(2.11),表达,.,对于每一个固定的,k,(2.11),式为一单值函数,称为,Ln,z,的一个,分支,.,特别,当,z,=,x,0,时,Ln,z,的主值,ln,z,=ln,x,就是实变数对数函数,.,例,1,求,Ln 2,Ln(,-,1),以及它们相应的主值,.,解,因为,Ln 2=ln 2+2,k,p,i,所以它的主值就是,ln2.,而,Ln(,-,1)=ln 1+,i,Arg(,-,1)=(2,k,+1),p,i,(,k,为整数,),所以它的主值是,ln(,-,1)=,p,i,.,注,：在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内不再成立,.,而且正实数的对数也是无穷多值的,.,因此,复变数对数函数是实变数对数函数的拓广,.,3.,性质,:,i),ii),对数函数的解析性,.,就主值,ln,z,而言,其中,ln|,z,|,除原点外在其它点都是连续的,而,arg,z,在原点与负实轴上都不连续,.,因为若设,z,=,x,+,iy,则当,z,0,时,所以,除去原点与负实轴,在复平面内其它点,ln,z,处处连续,.,综上所述,z,=e,w,在区域,-p,v,=arg,z,0),时,由于,4,、,三角函数和双曲函数,i)cos,z,和,sin,z,以,2p,为周期,即,cos(,z,+2p)=cos,z,sin(,z,+2p)=sin,z,.ii)cos,z,是偶函数,即,cos(-,z,)=cos,z,而,sin,z,是奇函数,:,即,sin(-,z,)=-sin,z,iii),公式,由此得,cos(,x,+,iy,)=cos,x,cos,iy,-sin,x,sin,iy,sin(,x,+,iy,)=sin,x,cos,iy,+cos,x,sin,iy,.,但当,z,为纯虚数,iy,时,我们有,所以,这两个公式对于计算,cos,z,与,sin,z,的值有用,.,iv),当,y,时,|sin,iy,|,和,|cos,iy,|,都趋于无穷大,因此,|sin,z,|1,和,|cos,z,|1,在复数范围内不再成立,.,v),解析性 在复平面内都解析,其它复变数三角函数的定义如下,:,双曲函数,1.,定义,分别称为,双曲余弦,正弦和正切函数,.,2.,性质,ch,z,和,sh,z,都是以为 周期的函数,ch,z,为偶函数,sh,z,为奇函数,它们都是复平面内的解析函数,导数分别为,:,(ch,z,)=sh,z,(sh,z,)=ch,z,不难证明,ch,iy,=cos,y,sh,iy,=,i,sin,y,5,、反三角函数和反双曲函数,1.,反三角函数的定义,两端取对数得,同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式,:,2.,反双曲函数的定义,补充题,解,6,、,小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性,.,如,:,1.,分成单值解析分支的方法,2.,指数函数具有周期性,3.,负数无对数的结论不再成立,作业：,第,68,页,15,18,20,题,
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