控制系统的状态空间描述

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,1,、状态变量和状态变量模型,2、状态空间表达式的建立,3、状态空间表达式的线性变换,4、传递函数矩阵,5、组合,系统的状态空间描述和传递函数矩阵,第一章,控制系统的状态空间描述,第一节 动态系统的状态变量和状态变量模型,动力学系统：能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。,术语：,状态,：,指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。,状态可以理解为系统记忆，,t=t,0,时刻的初始状态能记忆系统在,t=t,0,时输入的时间函数，那么，系统在,t=t,0,任何瞬间的行为就完全确定。,最小个数,：意味着这组变量是互相独立的。,减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。,状态空间,：,以状态变量 为坐标轴构成的,n,维空间。在某一特定时刻 ，状态向量 是状态空间的一个点。,状态轨迹,：,以 为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。,状态向量,：,把 几个变量看成向量 的分量，则 称为状态向量。记作：,或：,状态方程,：,由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。,反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：,其中n是状态变量个数，r是输入变量个数； 是线性或非线性函数。,通式为：,将通式化为矩阵形式有：,其中：,输出方程,：,在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。,反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：,其中n是状态变量个数，r是输入变量个数，m是输出变量个数， 是线性或非线性函数。,通式为：,将通式化为矩阵形式有：,其中：,(2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。,(1)为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。,说明：,动态方程或状态空间表达式,：,将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：,其中,：A、B、C、D矩阵含义同上。,(3) 定常系统： A,B,C,D各元素与时间无关；,时变系统： A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；,定常系统,；,时变系统,(5)系统输出与状态的区别：,系统输出：希望从系统中测得的信息，物理上可以量测到；,系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。,(4),非线性,系统状态空间表达式： 和 是x与u的某类非线性函数。可以用线性系统来近似。,由电路知识，可列出以下方程：,例,用RLC网络说明如何用状态变量描述动力学系统。,状态变量的性质,（,1,）状态变量的选择不是唯一的，但个数是唯一的。,线性非奇异变换是最直接的佐证。,（,2,）状态变量的个数等于系统独立的储能元件的个数。,（,3,）状态变量可以完整地描述系统的时域行为。,（2）如果令状态变量为： ，则：,有：,简写为：,（1）令状态变量为：,，则：,有：,简写为：,常用符号,：,系统动态方程的模拟结构图：,积分器,比例器,加法器,注：1、积分器个数与状态变量个数一致。,2、加法器不标“”、“”号，一律默认为加法“”。,小结：,模拟结构图,：,第二节 状态空间表达式的建立,1、由系统物理机理建立动态方程,2、由微分方程建立动态方程,3、由传递函数建立动态方程（系统实现问题）,4、由结构图建立动态方程,状态变量的选取：,建立状态空间表达式的前提,系统储能元件的输出,系统输出及其各阶导数,使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）,一、从系统物理机理建立动态方程,系统分析和设计步骤：（与古典控制的相似性）,建立状态空间表达式，定量分析，定性分析，设计,电路如图1所示。请建立该电路以电压u,1,u,2,为输入量，u,A,为输出量的状态空间表达式。,例,L,2,u,A,u,1,u,2,+,_,+,_,i,1,i,2,R,2,R,1,图1,L,1,解：,1) 选择状态变量,两个储能元件L,1,和L,2,，可以选择i,1,和i,2,为状态变量，且两者是独立的。,2）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：,整理得：,3）状态空间表达式为：,例,R-C-L 网络如图2所示。e(t)-输入变,量， -输出变量。试求其状态空间描述,解：,1.)确定状态变量,两个储能元件C和L，故选 和 为状态变量，组成状态向量 x= ,R,1,L,u,c,u,R2,R,2,c,i,c,i,L,图2,2.)根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：,将 代入上式，消去中间变量 ，并整理得：,所以状态方程为：,右电路图可知:,所以输出方程为：,所以系统各矩阵为：,例,试列出在外力f作用下，以质量 的位移 为输出的动态方程。,解：,该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：,质量块受力图如下：,则有：,及：,将所选的状态变量,代入上式并整理出状态方程得：,输出方程：,状态方程：,写成矩阵形式：,=,4,3,2,1,0,0,1,0,0,0,0,1,x,x,x,x,y,二、由微分方程写动态方程可以转换为传递函数形式,线性定常系统的状态空间表达式为,在经典控制理论中,控制系统的时域模型为：,解决问题,:选取适当的状态变量,并由,定出相应的系数矩阵A、B、C、D.,两类问题,：,1、微分方程中不包含输入函数的导数项,2、微分方程中包含输入函数的导数项,注,：,此处仅讨论SISO系统，MIMO系统见传递函数最小实现。,微分方程形式:,1、微分方程中不包含输入函数的导数项（无零点）,2）将上两边对t求导,，化为状态变量 的一阶微分方程组。,1）选择状态变量.,若给定初始条件,则系统行为被完全确定。,故选择 为系统的一组状态变量,输出及其各阶导数,令:,3）化为向量矩阵形式：,状态方程为:,输出方程为:,注意：第一能观标准型，见后。,5）说明：,状态变量是,输出,y,及,y,的各阶导数。,系统矩阵,A,特点：主对角线上方,1,个元素为,1,，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为,0,，,友矩阵或相伴矩阵,。,没有零点，,输入和输出间无直接传递关系,。,4）画模拟结构图：,例,设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。,解：,若选 ，可导出系数矩阵A，B，C,模拟结构图,2、微分方程中包含输入函数的导数项,（传函有零点，两种实现方法）,微分方程形式：,第一种方法：取拉氏变换后，用传递函数的可控标准型实现,第二种方法：用可观标准型实现,注：两种方法见传递函数的直接实现一节。,三、由传递函数列写状态空间表达式,传递函数的实现方式：,1）直接分解（可控标准型、可观标准型）,2）串联分解,3）并联分解（对角线标准型、约当标准型）,注,：,传递函数实现方法很多，为了和第3章传递函数（阵）,的最小实现相结合，此处给出几种和教材不同的实现,方法。,1、直接分解的实现：（可控标准型、可观标准型实现）,引入中间变量 ，有：,令：,传递函数为：,1）可控标准型实现步骤：,注意：如果分母中 的系数不为1，则先化为1。,选择状态变量如下：,对应的微分方程分别为（2）式左边不含有导数项）：,则：,写成矩阵形式有：,第二能控标准型，见后。,当 时有：,模拟结构图为：,例：,求,的状态空间表达式。,解：,分子、分母同除以4得：,可得：,对应的微分方程为：,注意：如果分母中 的系数不为1，则先化为1。,2）可观标准型实现步骤：（略，课后练习）,传递函数为：,状态变量选择如下：,整理可得：,写成矩阵形式有：,第二能观标准型（对偶于第二能控标准型），见后。,当 时有：,模拟结构图为：,例：,求,的状态空间表达式。,解：,分子、分母同除以4得：,可得：,预备知识：两个典型一阶子系统的传递函数及其状态空间描述,思路：,首先,整理上式得：,1）,既有零点也有极点,2、串联分解的实现：（传递函数由零极点形式给出）,模拟结构图：,（1）,令,则：,对上两式进行拉氏反变换，可得到如下的状态空间描述：,(1),（2）,令,模拟结构图：,说明,：,再次表明了状态空间描述的非唯一性,对上两式进行拉氏反变换，得到如下的状态空间描述：,(2),则：,2）,模拟结构图：,无零点，仅有极点,（1）,令,则：,对上两式进行拉氏反变换，可得到如下的状态空间描述：,(3),（2）,令,模拟结构图：,说明,：,无零点与有零点的不同，D0。,以上变换等同于传递函数的有效变换。,则：,对上两式进行拉氏反变换，可得到如下的状态空间描述：,(4),串联分解的实现：,1）对传递函数进行因式分解；,2）画模拟结构图，并选择状态变量；,（使用,预备知识讲述的两种子系统，并从右至左对每个子系统选择状态变量x1、x2、x3、。,）,3）由模拟结构图直接得到状态空间表达式。,解题步骤：,例,求以下传递函数的状态空间表达式。,解：,1）首先进行因式分解，得到：,2）画模拟结构图：,3）写出动态方程：,说明：,根据3个子系统分配的位置不同，可以写出不同的动态方程,3、并联分解的实现：,对角线标准型和约当标准型,不失一般性，,讨论此系统：,也有一个k重极点：,分析：,既有互异极点：,实现方法：,整理得：,（1）对于互异极点部分：,令,拉氏反变换可得：,系数 为待定系数，其中 ，采用,留数定理,计算：,（2）对于重极点部分：,令,则：,联立上两式得：,拉氏反变换可得：,联立(1)、(2)、(4)可得：,由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：,模拟结构图为：,例,设 ,试求其状态空间描述。,解:,因式分解得 , 故求得系数c为,状态空间描述为：,四、由结构图求动态方程,例：,结构图如下：,关键,：利用串联分解中的预备知识，将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换。,等效变换如下：,图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图：,则有：,写成矩阵形式：,由,系统的机理列写动态方程：,物理方程的列写，状态变量的选择（任意，个数确定）,由微分方程写动态方程：,不含输入导数项：选输出及其各阶导数为状态变量；,含有输入导数项：能观标准型或转变为传递函数后，用能,控标准型；,由传递函数求动态方程： （特殊形式：标准型）,三种实现方式，直接、并联或串联实现,由结构图求动态方程：,将结构图等效为比例环节和积分环节的形式，选择积分环节后的变量为状态变量,小结:,第三节 动态方程的线性变换,1,、将状态空间表达式变换成对角线标准型,2,、将状态空间表达式变换成约当标准型,3、将状态空间表达式变换成能控、能观标准型,线性非奇异变换：,含义,：,如果P是一个非奇异阵，则将 变换称为线性非奇异变换。,满足,：,叠加原理,齐次性条件,用途：,通过线性变换，可将状态方程变成对角线或约当标准型。,系统状态空间表达式的非唯一性：,含义,：同一系统的不同状态变量可通过线性变换互相得到。,两组状态变量的关系：,其中：,P不同则得到不同的 。,例,：,关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性,考虑系统 为：,非奇异变换后,1）若选非奇异变换阵P为：,结论,：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，,非唯一性,2）若选非奇异变换阵P为：,对角线矩阵,对于系统矩阵A，若存在一非零向量 ，使得：,系统的特征值和特征向量,则：,矩阵A的特征值（A特征方程的根）,矩阵A的特征方程,矩阵A的特征矩阵,矩阵A对应于特征值 的特征向量,矩阵A的特征多项式,使 ，则称 为A的对应于 的特征向量。,设 为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量,由定义知,：,1）一个n维系统的 方阵A，有且仅有 n 个独立的特征值。,特征值及传递函数阵的性质：,3）对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。,2）A为实数方阵，则n个特征值或为实数，或为共轭复数对。,系统2: 特征多项式 ， 传递函数阵,系统1: 特征多项式 ， 传递函数阵,则： 且,其中：,特征值和传递函数阵的不变性,，证明作为课后练习。,（注：传递函数阵的不变性等到第4节讲完后，再行证明）,5）若系统矩阵A具有形式：,则其特征多项式为：,特征方程为：,4）设 为系统矩阵A的特征值, 是A属于特征值的特征向量。当 两两相异时， 线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵P必是非奇异的。,特征向量的计算：,1）先求出系统矩阵A的所有特征值。,2）对于每个特征值，计算其特征向量。,注意,：对于每个特征值，其独立特征向量个数为,矩阵特征值的代数重数和几何重数,：矩阵重特征值 的总重数，称为 的代数重数，如3重特征值的代数重数为3。,称为 的几何重数(即独立特征向量个数)。,循环矩阵,：满足以下条件的矩阵：即矩阵所有互不相同的特征值，各自只对应一个线性独立的特征向量。或者其所有特征值的几何重数都为1，即 ，只要有一个重特征值，其几何重数大于1，就是非循环矩阵。,矩阵A为循环矩阵的条件,：1）A的所有特征值互异；,2）A有重特征值，但所有重特征值的几何重数都为1。,例,：,求下列矩阵A的特征向量。,解：,1) 计算特征值,A的特征方程为：,A的特征值： , ，,2）计算特征向量,特征向量：,特征向量：,特征向量：,一、将状态方程化为对角线标准型,1、状态方程化为对角线标准型的步骤：,1）先求出系统矩阵A的所有特征值。,2）每个特征值，计算其特征向量。由此组成非奇异变换阵P。,化为对角线标准型的条件,：,1）A的所有特征值互异；,2）A有重特征值，但所有重特征值的几何重数和代数重数相等。即特征值的代数重数和它对应的独立特征向量数相等。,在这两种情况下，A独立的特征向量的个数仍然为n个。,，2个独立特征向量,，1个独立特征向量,定理1,：,对于线性定常系统 ，如果A特征值 互异，则必存在非奇异变换矩阵P，通过变换 ，将原状态方程 化为对角线规范形式 。,其中,：,证明：,1）找非奇异变换阵,由特征值性质4)知，由A特征向量构成的矩,阵 是非奇异的，故可选P为变换阵。,3）由变换矩阵P和矩阵A，B，C求出 ，其中对角阵 可以由特征值直接写出，只需求出 即可。,2）求,上式两端左乘 得：,证毕！,特征值定义,例,线性定常系统 ，其中：,将此状态方程化为对角线标准型.,当 时，,2)确定非奇异矩阵P,解:,1)求其特征值:,取:,当 时，,取:,同理当 时，得:,3）求,对角线标准型为：,证明：略(提示，根据特征值和特征向量的定义证明)。,定理2：,对线性定常系统，如果其特征值 互异，,且系数矩阵A是以上的友矩阵,，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵P是一个,范德蒙矩阵,，具有如下形式：,例：,线性定常系统 ，其中,将状态方程化为对角线标准型.,解：,1）确定系统特征值.,由特征值性质5）有：,得：,2)确定非奇异变换阵P,说明,： 的另一种求法：,求得特征值后，可以直接写出对角线标准型的 ，所以 可以用待定系数法求得。,所以A和 已知，可以解出,故在本例中：,由上式得：,求得：,3)求,系统状态方程对角线标准型为：,二、将状态方程化为约当标准型（系统具有重特征根）,注：,以后不特别指明，A的每个重特征值各自仅对应一个独立的特征向量，等同于每个约当块仅有一个线性独立的特征向量,。此时进行线性变换，需增加广义特征向量，来构成Q变换阵。,，1个独立特征向量,，1个独立特征向量,化为约当标准型的条件,：,A有重特征值，且A特征值对应的独立特征向量的个数小于n。,即A的某些重特征值，其几何重数小于其代数重数。,A有重特征值，且A特征值对应的独立特征向量的个数小于n。,1、约当矩阵定义：,约当块,：,约当矩阵,：由约当块组成的准对角线矩阵。,其中,： 是,约当块块数，等于 独立特征向量的个数。,即,每个约当块有且仅有一个线性独立的特征向量,。,由此看出，对角阵是一种特殊形式的约当矩阵。,说明,：,对角线标准型：各状态变量间是完全解耦的。,约当标准型：各状态变量间最简单的耦合形式，每个变量至多和下一个变量有关联。,条件,：,约当块阶数 等于特征值重数的条件是对应该重特征值的独立特征向量的个数为1个，即 。,每个独立特征向量对应一个约当块。,例如,：当某个重特征值的重数为3，而对应于该特征值的独立特征向量数为2时，,约当块块数为2。,此时：,某个重特征值对应多个约当块,其中：,2、变换矩阵Q的确定：,讨论的前提,：,每个重特征值只对应一个独立特征向量的情况，只有一个约当块。 假设系统有 个特征值。,则：,关键,：要确定Q，必须推导出 ，目的是确定 个广义特征向量,推导过程：,将式(1)代入(4)得：,即：,将(2)(3)代入上式(6)得：,由式(7)可以解出：,其中,： 对应于 的特征向量，其余为广义特征向量。这些向量构成 。,即,：,阵的求法分为两块，一块是互异部分；另一块是重根部分。,则 的求法为：,由此求得：,结论,：Q的求解步骤,假设系统有m个重特征根 ，其余为n-m个互异特征根，则,上式中， 为重根对应的特征向量； 为互异特征根对应的特征向量。,设：,3、状态方程化为约当标准型的步骤：,1）先求出系统矩阵A的所有特征值。,2）对于每个特征值，计算其特征向量，对于重特征值，还要计算其广义特征向量。并由此组成非奇异变换阵Q。,3）由变换矩阵Q和矩阵A，B，C求出 ，其中约当矩阵 可以由特征值直接写出，只需求出 即可。,例：,线性定常系统状态空间表达式为：,将此化为约当标准型.,解:,1)确定系统特征值,2)确定系统特征向量，得到Q,所以：,3）求,约当标准型为： ，其中 如上。,例：,试将下列状态方程化为约当标准型：,解：,求特征值：,另一广义特征向量：,（二重根）时的特征向量为：,特征向量：,有：,定理,：,如果系数矩阵A是友矩阵,如果其特征值 是m重根， 是两两相异的，则将系统状态方程化为Jordan约当标准型的非奇异矩阵Q，其形式为：,小结,：,第四节 传递函数矩阵,一、传递函数阵的引入：,2）MIMO系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵G(s) ，G(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；,状态空间表达式：,二、传递函数阵定义：,根据传递函数定义，,式(1)拉氏变换，并令,，得式(2)：,1）SISO系统，一输入对一输出，用传递函数G(s)描述，,G(s)是一个元素；,整理（2）式得：,注意矩阵求逆,定义,传递函数阵,：,说明：,1）dim(G(s)=mr，其中dim()表示的维数。,m是输出维数，r是输入维数。,2）G(s)的每个元素的含义：,表示第i个输出中，由第j个输入变量引起的输出和第j个输入变量间的传递关系。,3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的G(s)是相同的。,例 ,求由 表述系统的G(s),解：,根据矩阵求逆公式：,由传递函数阵公式得：,求得：,求得传递函数阵为：,例2 ,求如图所示二输入二输出,系统的传递函数阵。,步骤：,1、确定G(s)维数。,2、确定G(s)中各元素的值。,解：,根据G(s)矩阵中每个元素的含义，很容易写出上图的传递函数阵,小结,：,第五节 组合系统的状态空间 描述及传递函数矩阵,子系统的并联联接,子系统的串联联接,子系统的反馈联接,传递函数阵：,子系统 的动态方程为：,子系统 的动态方程为：,子系统的模拟结构图如下,：,内容：组合系统的动态方程及传递函数阵的求法,传递函数阵：,则有：,两个子系统并联联结时：,子系统并联的前提：,组合系统状态空间表达式求法：,1）用前面讲述的方法，画结构图列写,2）用子系统状态求组合系统状态。涉及分块矩阵本节内容,1、状态空间表达式,2、传递函数阵为：,分块对角阵性质,结论：,当两系统并联时，组合系统的传递函数阵等于各子系统传递函数阵之和。,两个子系统串联联结时：,则有：,子系统串联的前提：,1、状态空间表达式,2、传递函数阵为：,回顾：分块矩阵求逆,结论：,当两系统串联时，组合系统的传递函数阵等于后一子系统的传递函数阵乘以前一子系统的传递函数阵。,由于矩阵左右乘不等，注意顺序。,两个子系统反馈联结时：,关系：,子系统反馈联接的前提：,不失一般性，令,有：,1、状态空间表达式,2、传递函数阵为：,小结：,