非正弦周期电流电路

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十三章 非正弦周期电流电路,内容提要,本章主要介绍非正弦周期电流电路的一种分析,方法谐波分析法，它是正弦电流电路分析方法,的推广。主要内容有：周期函数分解为傅里叶级数，,周期量的有效值、平均值，非正弦周期电流电路的,计算和平均功率，滤波器的概念。,目录,13,1 非正弦周期信号,13,2 周期函数分解为傅里叶级数,13,3 有效值、平均值和平均功率,13,4 非正弦周期电流电路的计算,本章作业,136、137、138、139,13,1 非正弦周期信号,i,u,R,C,L,若：,t,u,U,直流电路,I=,U,R,若：,正弦交流电路,I,U,=,Z,若：,t,u,t,u,全波整流波形,t,u,方波,t,u,锯齿波,非正弦周期信号,谐波分析法：,非正弦周,期激励信号,电路响应,（有效值、平,均值、功率）,傅里叶级数展开,不同频率,的正弦激励,不同频率正弦激励下的响应,求,相量法,叠加,1、将非正弦周期激励分解为不同频率的正弦量之和。,2、用相量法求解不同频率正弦激励时的响应。,3、将不同频率正弦的响应进行时域叠加。,13,2 周期函数分解为傅里叶级数,周期函数：f(t)=f(t+kT),若f(t)满足狄里赫利条件（在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值）时可展开成一个收敛的级数。,f(t)=a,0,+a,1,cos,t+,a,2,cos2,t+,a,3,cos3,t+,+,a,k,coskt+,+,b,1,sin,t+b,2,sin2,t+b,3,sin3,t+,+b,k,sinkt+,f(t)=A,0,+A,1m,cos(,t+,1,)+A,2m,cos(2,t+,2,)+,+A,km,cos(k,t+,k,)+,或：,恒定,(直流),一次谐波,(基波),二次谐波,高次谐波,f(t)=A,0,+,A,km,cos(kt+,k,),k=1,系数关系：,a,0,=,T,1,0,T,f(t)dt,a,k,=,T,2,0,T,f(t)cosk,t,dt,=,1,0,2,f(t)cosk,t,d,t,b,k,=,T,2,0,T,f(t)sink,t,dt,=,1,0,2,f(t)sink,t,d,t,A,0,=a,0,A,k,=,a,k,+b,k,2,2,k,=tg,1,(,),a,k,b,k,波形对称性与系数的关系：,1、f(t)=f(,t,),t,u,偶函数 b,k,=0,2、f(t)=,f(,t,),t,u,奇函数 a,k,=0,t,u,3、f(t)=,f(,t+,),2,奇谐波函数,（镜对称函数）,偶次谐波为零,例：,求：图示周期信号f(t)的傅里叶级数展开式。,f(t)=,E,m,0t,T,2,E,m,tT,T,2,解：奇函数,a,k,=0,b,k,=,1,0,2,f(t)sink,t,d,t,b,k,=,1,0,E,m,sink,t,d,t,1,2,E,m,sink,t,d,t,=,2,0,E,m,sink,t,d,t,=,k,2E,m,cosk,t,0,=,k,4E,m,k=1、3、5、,0,k=2、4、6、,f(t)=(sin,t+sin3,t+sin5,t+,),4E,m,1,5,1,3,t,f(t),E,m,E,m,傅里叶分解的几何意义：,f(t)=(sin,t+sin3,t+sin5,t+,),4E,m,1,5,1,3,t,f(t),E,m,E,m,t,f(t),E,m,E,m,幅度频谱：,f(t)=(sin,t+sin3,t+sin5,t+,),4E,m,1,5,1,3,k,A,m,4E,m,3,3,4E,m,5,5,4E,m,7,7,4E,m,13,3 有效值、平均值和平均功率,一、有效值,I=,1,T,0,T,i,2,dt,非正弦电流、电压时：,I,0,+,I,k,cos(kt+,k,),k=1,2,I=,1,T,0,T,2,dt,i,=I,0,+,I,k,cos(kt+,k,),k=1,2,I=I,0,+I,1,+I,2,+,+I,k,+,2,2,2,2,非正弦周期电流(电压)的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方和再开平方。,同理：,U=U,0,+U,1,+U,2,+,+U,k,+,2,2,2,2,思考：,有效值相等的非正弦量(电流或电压)其波形是否相同？,i,1,=I,m,sin,t+,I,m,sin3,t,1,3,i,2,=I,m,sin,t+,I,m,sin(3,t,),1,3,1,2,I,1,=I,2,=,I,m,+,2,1,2,(I,m,),2,1,3,t,i,1,t,i,2,二、平均值,定义：,I,av,=,T,1,0,T,|,i,|,dt,注意：,平均值I,av,与恒定分量I,0,的区别。,I,0,=,T,1,0,T,i,dt,例：,i,=Icos,t,2,t,i,恒定分量,I,0,=0,平均值：,I,av,=,T,1,0,T,|,Icos,t,|,dt,2,t,i,I,av,=0.989I,平均值的几何意义,全波整流后的平均值。,在测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择合适的仪表。,三、平均功率,u,=U,0,+,U,k,cos(kt+,k,u,),k=1,2,i,=I,0,+,I,k,cos(kt+,k,i,),k=1,2,P=,T,1,0,T,ui,dt,=,T,1,0,T,I,0,+,I,k,cos(kt+,k,i,),k=1,2,dt,U,0,+,U,k,cos(kt+,k,u,),k=1,2,=U,0,I,0,+U,1,I,1,cos,1,+U,2,I,2,cos,2,+,+U,k,I,k,cos,k,+,恒定分量功率,一次谐波平均功率,1、,k,=,k,u,k,i,同次谐波电压与电流的相位差。,2、不同频率的电压、电流不产生平均功率。,二次谐波平均功率,k次谐波平均功率,13,4 非正弦周期电流电路的计算,例：,已知：,u,S,=10+50cos,t+25cos(2t+60,)V,R、L、C电路对基波的复阻抗,Z()=8+j(2,8),。,求：,i,=?,1、直流分量作用：,u,i,R,L,C,I,(0),U,(0),I,(0),=0,u,i,R,L,C,2、基波作用：,8,j2,j8,U,(1),I,(1),U,S(1),=,2,50,0,V,Z,(1),=8+j(2,8),I,(1),=,U,(1),Z,(1),=,2,5,36.8,A,i,(1),=5cos(,t+36.8,)A,3、二次谐波作用：,8,j4,j4,U,(2),I,(2),U,S(2),=,2,2.5,60,V,Z,(2),=8,I,(2),=,U,(2),Z,(2),=,2,3.13,60,A,i,(2),=3.13cos(2,t+60,)A,4、叠加：,i,=I,(0),+,i,(1),+,i,(2),=5cos(,t+36.8,)+3.13cos(2,t+60,)A,注意事项：,1、电源电压或电流的恒定分量单独作用时，把,电容看作开路，把电感看作短路。,2、电源电压或电流的各次谐波分量单独作用时，,感抗、容抗的值随各次谐波的频率变化。,3、最后结果是做时域叠加，即：瞬时式相加。,电压、电流的各次谐波的相量直接相加是没,有意义的,例：,i,S,1000PF,20,1mH,u,已知：,T=6.28,10,6,S T,k,=T,求：,u,=?,1,3,解:1、将,i,S,分解(教科书P322表131),i,S,=100 +(sin,cost,+sin,cos2t,+,sin,cos3t,+,sin,cos4t,+,)mA,1,3,2,1,3,1,2,2,3,1,2,3,3,1,2,4,3,i,S,=33.3+55cos,t+27.6cos2t,13.8cos4,t+,(,mA,),t,i,S,100mA,T,T,k,2、计算电路对各次 谐波的输入复阻抗,i,S,1000PF,20,1mH,u,T=6.28,10,6,S,直流：,Z,(0),=R=20,=,T,2,=10,6,rad/s,基波：,X,L,=,L=1K,X,C,=,=1K,C,1,R,L,电路可近似认为对基波发生并联谐振。,Z,(1),=50K,CR,L,二次谐波：,Z,(2),=,(R+j2,L),j,2C,1,(j,2C,1,),R+j2,L,=0.667,89.8,K,四次谐波：,Z,(4),=0.267,90,K,3、求各分量作用下的电压响应。,U,(0),=I,(0),Z,(0),=3.33,10,3,20=0.66V,U,(1),=I,(1),Z,(1),=,10,3,5010,3,=V,55,0,2,2750,0,2,U,(2),=I,(2),Z,(2),=,V,18,2,89.8,U,(4),=I,(4),Z,(4),=,V,3.7,2,90,4、瞬时式相加：,u,=0.66+2750cos,t+18cos(2t,89.8,)+3.7cos(4t,90)V,从所得结果可以看出：响应中只保留了基波信号，该电路具有滤波的作用。,例：,N,u,i,已知：,u,(t)=10+50cos(1000t,)+30cos(2000t+)V,4,4,4,i,(t)=5cos(1000t,+,)+3cos(2000t,)A,4,4,求：网络中至少有什么元件，,如何连接，其值多大？,解：,P=0，网络中无电阻。,=1000rad/s时，,u,i,=,电路呈容性。,2,=2000rad/s时，,u,i,=,电路呈感性。,2,网络中有L、C,U,(0),=10V，I,(0),=0；所以，L、C串联。,基波作用：,50,5,5,=,1000C,1,1000L,二次谐波作用：,30,3,=,2000C,1,2000L,解有：,C=50,F,L=10mH,