线性微分方程通解的结构

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,线性微分方程通解的结构,第四节,一、二阶线性微分方程,二、二阶线性微分方程解的性质,三、二阶线性微分方程解的结构,第,九,章,一、二阶线性微分方程,二阶线性微分方程,二阶,齐次,线性微分方程,二阶,非齐次,线性微分方程,n,阶线性微分方程：,二、二阶线性微分方程解的性质,证,0,0,性质2,性质3,性质4,(,非齐次线性方程,解的叠加原理,),例1,的解，,解,问题1,三、二阶线性微分方程解的结构,回顾：,问题2,答:,不一定.,的解，,例如：,是某二阶齐次线性方程的解,也是齐次线性方程的解,并不是通解.,但是,则,为解决通解的判别问题,还需引入,函数的,线性相关,与,线性无关,概念.,定义9.1,是定义在,区间,I,上的,n,个函数,使得,则称这,n,个函数在,I,上,线性相关,；否则称为,线性无关.,若存在,不全为 0,的常数,例3,下列各函数组在给定区间上是线性相关,还是线性无关？,线性无关,解,例4,故该函数组在任何区间,I,上都,线性相关;,解,证明：函数组,I,上线性无关.,证,(用反证法),假设：,n,个零点,故,这与,矛盾！,特别地,对于两个函数的情形：,定理,例如：,注.,可以证明：,朗斯基行列式,1.齐次线性微分方程解的结构,推论,n,个线性无关的特解，则此方程的通解为,方程：,验证：,例5,定理9.2,(,二阶非齐次线性方程(2)的解的结构,),2.非齐线性微分方程解的结构,例6,例7,解,(1),(2),齐次线性方程(2)的通解为：,原方程(1)的通解为：,求二阶非齐次线性微分方程(2)的通解,的,关键：,确定与其相对应的二阶齐次线性方程,(1),的两个线性无关的解,;,(2),求,(2),的一个特解,.,注.,内容小结,解的叠加原理,函数组线性相关与线性无关,1、二阶线性微分方程解的性质,2、二阶线性微分方程解的结构,思考题,思考题解答：,代入原方程，得,备用题,例6-1,.,解,