函数及其表示-函数与导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,1,函数及其表示,返回目录,1.,函数的基本概念,(1),函数定义,设集合,A,是一个非空的,如果按照某种确定的对应关系,f,使对于集合,A,中的任意一个数,x,在集合,B,中都有,的数,f(x),和它对应,那么就称,f:AB,为从集合,A,到集合,B,的一个函数，记作,.,数集,唯一确定,y=f(x),xA,考点分析,返回目录,(2),函数的定义域、值域,在函数,y=f(x),xA,中，,x,叫做自变量，,x,的取值范围,A,叫做函数的,；与,x,的值相对应的,y,值叫做函数值，函数值的集合,f(x)|xA,叫做函数的,.,显然,值域是集合,B,的子集,.,(3),函数的三要素,:,、,和,.,(4),相等函数,:,如果两个函数的,相同，并且,完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据,.,2.,函数的表示法,表示函数的常用方法有,:,、,和,.,定义域,值域,定义域,值域,对应法则,定义域,对应关系,解析法,图象法,列表法,3.,映射的概念,设,A,B,是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系,f,使对于集合,A,中的任意一个元素,x,在集合,B,中都有唯一确定的元素,y,与之对应,则称对应,f:AB,是集合,A,到集合,B,的一个,.,4.,由映射的定义可以看出,映射是,概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合,A,B,必须是,.,非空数集,返回目录,映射,函数,返回目录,考点一 函数的概念,下列四组函数中,f(x),与,g(x),是否为同一函数,为什么,?,(1)f(x)=lgx,g(x)=lgx,2,;,(2)f(x)=x,g(x)=;,(3)f(x)=,g(x)=log,a,a,x,;,(4)f(x)=lgx-2,g(x)=lg .,【,分析,】,判断两个函数是否为同一函数,关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同,.,如果有一个不同,它们便不是同一函数,.,题型分析,返回目录,【,解析,】,(1)f(x),的定义域为,(0,+),g(x),的定义域为,(-,0)(0,+),定义域不同,故,f(x),与,g(x),不是同一函数,.,(2),函数,f(x),的值域为,(-,+),g(x),的值域为,0,+),值域不同,故,f(x),与,g(x),不是同一函数,.,(3),因为,f(x)=x(x,0),g(x)=x(xR),定义域不同,故,f(x),与,g(x),不是同一函数,.,(4),因为,f(x)=lgx-2(x,0),g(x)=lg =lgx-2(x,0),所以,f(x),与,g(x),的对应法则、定义域和值域都分别相同,故它们是同一函数,.,【,评析,】,(1),只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是,:,定义域不同,两个函数也就不同,.,对应法则不同,两个函数也是不同的,.,即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数 的定义域和值域 不能唯一地确定函数的对应法则,.,(2),函数的对应法则可以化简,例如题型一,(3)(4),中的函数,再比如函数,f(x)=|x|,和,g(x)=,从表面上看它们的对应法则不同,但实质上是相同的,.,(3),当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域便随之确定,所以,函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素,.,返回目录,返回目录,对应演练,判断下列各组函数是否为同一函数,.,(1)f(x)=x,2,+2x-1,g(t)=t,2,+2t-1;,(2)f(x)=,g(x)=x+1;,(3),x+1 (-1x0),x-1 (0 x1),g(x)=f,-1,(x).,(4)f(x)=,返回目录,(1),两函数的定义域、值域、对应法则均相同，所以它们是同一函数,.,(2)y=x+1,但,x1,而,y=x+1,中,xR,所以它们不是同一函数,.,(3),函数,f(x)=,的定义域为,x|x0;,而函数,g(x)=,的定义域为,x|x-1,或,x0,它们的定义域不同,所以不是同一函数,.,x-1,(0 x1),x+1,(-1x0,1,x=0,-,x0,x=0,x0,段上的图象,如图所示,作法略,.,(2)f(1)=1,2,=1,f(-1)=-,=1,f,f(-1),=f(1)=1.,返回目录,对应演练,如图，,OAB,是边长为,2,的正三角形，直线,x=t(0t2),截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为,f(t).,(1),求函数,y=f(t),的解析式，,并指明它的定义域,;,(2),求函数,y=f(t),的值域,.,返回目录,（,1,）当,0,t1,时，所截图形是一个直角三角形，其面积,f(t)=t,2,tan60=t,2,;,当,1,t,2,时，所截图形是一个四边形，它的面积可由正三角形,OAB,的面积减去一个直角三角形的面积来计算，即,f(t)=2 -(2-t)(2-t)tan60=-(2-t),2,;,当,t=2,时，所截图形即,OAB,，,f(t)=.,t,2,，,0,t1.,-,（,2-t,）,2,1,t2.,此函数的定义域为,(0,2,.,综上,f(t)=,返回目录,（,2,）当,0,t1,时，,0,t,2,;,当,1,t2,时，,-(2-t),2,.,故函数,f(t),的值域为,(0,.,返回目录,正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键,.,函数的本质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于,:(1),它是非空数集到非空数集的对应,;(2),定义域中的每个元,素只有一个函数值；（,3,）定义域中的每个元素一定有,函数值,.,确定一个函数需要三个要素,:,定义域；对应法则；值域,.,对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一定能够用解析式表示，如列表法和图象法表示的函数,.,对于,f(x),，可以理解为根据对应法则,f,，自变量,x,对应的,高考专家助教,函数值；也可以理解为根据对应法则,f,产生的函数,f(x).,表示函数时，前面一般加“函数”二字,.,列表法、图象法,和解析法是函数最常用的三种表 示方法，函数的图 象是,直观理解函数性质和 解 决函数问题的有力工 具，注意灵活使用,.(4),对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是几个函数，它是一个整体,.,对于分段函数，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式,;,解决分段函数的有关问题的关键是“分段归类”,.,即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决,问题,.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,