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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 空间向量与立体几何,人教,B,版数学,1知识与技能,掌握空间两个向量的夹角，两个向量互相垂直的概念及表示方法,掌握异面直线，两条异面直线所成的角，两条异面直线互相垂直的概念,掌握两个向量的数量积的概念，性质和计算方法以及运算律,能够初步在几何体中求两个向量的夹角及数量积的运算和有关简单问题的证明,2过程与方法,培养学生推理论证、逻辑思维能力、空间想象和几何直观能力,3情感态度与价值观,让学生感悟推理、运算在探索和发现中的作用，提高学生数学素养和学习兴趣。,重点：理解掌握两个向量的夹角，异面直线的概念，两个向量的数量积的概念，理解两个向量的数量积的性质和计算方法运算律以及应用,难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量问题计算,由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表明符号及向量的模的概念和表示的符号等，都与平面向量相同,要正确理解向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成失误较多,两个向量的夹角的注意问题：；与表示点的符号(,a,，,b,)不同；,.,空间两个向量的数量积的意义，与平面上两个向量的数量积的意义实际上是一样的，只要能理解任意两个向量共面，就可把空间两个向量的数量积转化为平面内两个向量的数量积,很显然，当0时，,ab,|,a,|,b,|，,当为锐角时，,ab,0，,当为钝角时，,ab,0，,当,时，,ab,|,a,|,b,|.,空间两个向量的数量积的性质,与平面上两个向量的数量积一样，空间两个向量的数量积也具有如下性质,a,ae,|,a,|cos,b,a,b,ab,0,c,|,a,|,2,aa,d,|,ab,|,|,a,|,b,|,两个向量数量积的性质的作用：,性质,a,.可以帮助我们求两个向量的夹角,性质,b,.用于判断空间两个向量的垂直,性质,c,.主要用于对向量模的计算,性质,d,.主要用于不等式的证明,通常规定0,180,且,如果90，则称_，记作_,2两个向量一定共面但在作向量,a,，,b,时，它们的基线可能不同在任一平面内，我们把不同在任一平面内的两条直线叫做_把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做_，如果所成的角是直角，则称两条异面直线_,3把平面向量的数量积,ab,|,a,|,b,|cos,也叫做两个空间向量,a,，,b,的_,4两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：,(1),ae,_；,(2),a,b,_；,(3)|,a,|,2,_；,(4)|,ab,|,|,a,|,b,|.,空间两个向量的数量积同样满足如下运算律：,(1)(,a,),b,_,(2),ab,_；(交换律),(3)(,a,b,),c,_(分配律),答案,1.向量,a,与,b,的夹角,a,与,b,互相垂直,a,b,2异面直线两条异面直线所成的角互相垂直,3数量积(或内积),4(1)|,a,|cos(2),ab,0(3),aa,(1),(,ab,)(2),ba,(3),ac,bc,例1设,a,，,b,120，|,a,|3，|,b,|4，求：(1),ab,；(2)(3,a,2,b,)(,a,2,b,),分析,利用数量积公式进行运算,解析,(1),ab,|,a,|,b,|cos,a,，,b,，,ab,3,4,cos1206.,(2),(3,a,2,b,)(,a,2,b,)3|,a,|,2,4,ab,4|,b,|,2,3|,a,|,2,4|,a,|,b,|cos1204|,b,|,2,，,向量,a,、,b,之间的夹角为30，且|,a,|3，|,b,|4，求,ab,，,a,2,，,b,2,，(,a,2b,)(,a,b,),例2如图所示，已知空间四边形,ABCD,的每条边和对角线长都等于,a,，点,E,、,F,、,G,分别是,AB,、,AD,、,DC,的中点求下列向量的数量积：,将本例中每条边和对角线长都等于,a,改为1，去掉中点,G,，计算：,例3如图所示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，求异面直线,A,1,B,与,AC,所成的角,说明求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示,例4已知空间四边形,OABC,中，,AOB,BOC,AOC,，且,OA,OB,OC,.,M,、,N,分别是,OA,、,BC,的中点，,G,是,MN,的中点，求证：,OG,BC,.,说明,a,b,ab,0，事实上， 用向量法证线线垂直问题是向量的数量积的应用,已知：在空间四边形,OABC,中(如图)，,OA,BC,，,OB,AC,，求证：,OC,AB,.,分析可直接运用|,a,|,2,aa,.,解析,|,a,b,c,|,2,(,a,b,c,),2,|,a,|,2,|,b,|,2,|,c,|,2,2(,ab,ac,bc,),说明公式：(,a,b,c,)(,a,b,c,)(,a,b,c,),2,|,a,|,2,|,b,2,|,c,2,|2,a,c,2,a,b,2,bc,，应牢记并能熟练的应用,已知平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，以顶点,A,为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60，则,AC,1,的长是多少？,例6如图，在平行四边形,ABCD,中，,AB,AC,1，,ACD,90，将它沿对角线,AC,折起，使,AB,与,CD,成60角，求,B,、,D,间的距离,辨析,把两点间距离表示出来，由,a,2,|,a,|,2,求距离，但应注意向量的角，三角形内角的区别,一、选择题,1下列式子中正确的是(),A|,a,|,a,a,2,B(,ab,),2,a,2,b,2,C(,ab,),c,a,(,bc,),D|,ab,|,|a|b|,答案,D,解析,ab,|,a,|,b,|cos,，,|,ab,|,a,|,b,|cos,|,|,a,|,b,|.,故选D.,答案,B,解析,由向量夹角定义知选B.,3已知向量,a,，,b,，,c,，两两夹角为60，其模都为1，则|,a,b,2,c,|(),答案,A,解析,|,a,|,b,|,c,|1，,a,，,b,b,，,c,c,，,a,60，,二、填空题,4已知,e,1,、,e,2,是夹角为60的两个单位向量，则,a,e,1,e,2,，,b,e,1,2e,2,的夹角为_,答案,120,答案,0,三、解答题,6如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别是,C,1,D,1,，,D,1,D,的中点，若正方体的棱长为1.,
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