概率论与数理统计第三章方差

,*,理学院,University of Shanghai for Science and Technology,College of Science,上海理工大学,概率论与数理统计,方 差,前面说到评判一批水泥板的质量问题若它们平均承受力较大，比如1000kg，但其中可能有一部分水泥板的承受力在1800kg以上，而另一部分的承受力不足200kg这批水泥板的承受力与平均值1000kg的偏离程度较大，质量不稳定、较差，不能被用于建造房屋，否则会发生事故那么，我们该用什么量去衡量这个偏离程度呢？对于随机变量X，虽然量E|X,E(X)|能度量X与其均值E(X)的偏离程度，但它带有绝对值，运算不方便为了运算方便，通常使用量,来度量X与其均值E(X)的偏离程度,引例,甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发,子弹击中的环数分别为：,甲 10,7,9,8,10,6,乙 8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？,解,首先比较平均环数,E(甲)=8.3,E(乙)=8.3,有五个不同数,有,四,个,不,同,数,再比较稳定程度,甲,：,乙,：,乙比甲技术稳定，故乙技术较好.,进一步比较,平均,偏离平均值的程度,甲,乙,E,X-E,(,X,),2,定义,设X是随机变量，,若,E,X,E,(,X,),2,存在,则称其为,X,的,方差,记为,Var,(,X,)或,Var,(,X,)(deviation variance),称,为,X,的,均方差,或,标准差,.,方差概念,即,Var,(,X,)=,E,X,E,(,X,),2,两者量纲相同,Var,(,X,)描述 r.v.,X,的取值偏离平均值,的平均偏离程度,数值,若,X,为离散型 r.v.，分布律为,若,X,为连续型r.v.，概率密度为,f,(,x,),例1,设,X,的概率密度如下，求 Var(,X,),解,由方差的定义知,例2,设,X N,(,2,),求,Var,(,X,),解,由方差的定义知,令,那么,方差的计算,计算方差的常用公式：,证明：因为,Var,(,X,)=,E,X,E,(,X,),2,(,由r.v.函数的数学期望,),=,E,X,2,2,E,(,X,),X,+,E,(,X,),2,=,E,(,X,2,),2,E,(,X,),E,(,X,),+,E,(,X,),2,=,E,(,X,2,),E,(,X,),2,例3设随机变量,X,具有期望E(,X,)=,，标准差,(,X,)=,，记,求证 E(,X,*)=0,Var(,X,)=1.,证明 由数学期望的性质，得,标准化变量,设随机变量,X,的期望,E,(,X,)、方差,Var,(,X,),都存在,且,Var,(,X,),0,则称,为,X,的,标准化变量,.那么,例4,设,X,P,(,),求,Var,(,X,).,解一,解二,所以,例5,设,X U,(a,b,)，求,Var,(,X,).,解,Var,(,X,)=,E,(,X,2,),-,E,2,(,X,)=,例6,设,X,服从参数为,的指数分布,，求,Var,(,X,).,解,因为,E,(,X,)=1/,.,E,2,(,X,)=1/,2,故,常见随机变量的方差,分布,方差,概率分布,参数为,p,的,0-1分布,p,(1,-,p,),B,(,n,p,),np,(1,-,p,),P,(,),分布,方差,概率密度,区间(,a,b,)上,的均匀分布,Exp(,),N,(,2,),1.,Var,(,C,)=0,2.,Var,(,aX,)=,a,2,Var,(,X,),Var,(,aX+b,)=,a,2,Var,(,X,),方差的性质,3.对任意常数,C,Var,(,X,),E,(,X C,),2,当且仅当,C=E,(,X,)时等号成立,4.,Var,(,X,),=0,P,X=E,(,X,)=1,称为,X,依概率 1 等于常数,E,(,X,),性质 1 的证明：,性质 2 的证明：,性质 3 的证明：,当,C=E,(,X,)时，显然等号成立；,当,C,E,(,X,)时，,例6 设随机变量,X,具有概率密度函数,求,E,(6,X,2)和,Var,(6,X,2),解：首先计算,X,的数学期望,于是,又,从而,利用方差的性质，得,仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布,P,-,1 0 1,0.1 0.8 0.1,P,-,2 0 2,0.025 0.95 0.025,与,有相同的,期望方差,但是分布,却不相同,例如,例7,已知,X,服从正态分布,E,(,X,)=1.7,Var,(,X,)=3,Y=,1,2,X,求,Y,的密度函数.,解,在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.,3.3分位数,定义设,X,是连续随机变量，0,p,1若实数,x,p,满足,F,(,x,p,)=,P,X,x,p,=,p,则称,x,p,是,X,（或,X,服从的分布）的,p,分位数,或,p,分位点当,p,=0.5时，称,x,0.5,为,X,的,中位数,若用,X,的概率密度函数,f,(,x,)来表达，则有,若,X,N,(,2,),，如图下所示，阴影部分面积为,f,(,x,),x,p,p,x,O,O,例设随机变量,X,的概率密度函数为,求,X,的0.90分位数,x,0.90,解,X,的分布函数,由,解得,x,0.90,=,3ln0.10=3ln10=6.9078,对于标准正态分布,X,N,(,0,1),，常用,u,p,表示其,p,分位数根据其概率密度函数的对称性易知,u,p,=,u,1,p,，见下图,x,(,x,),O,u,1,p,u,p,p,p,标准正态分布的分位数,u,p,和,u,1,p,下面列出了几个常用的标准正态分布的,p,分位数,u,p,的值 它的中位数是0,p,0.001,0.005,0.010,0.025,0.050,0.100,0.500,u,p,3.090,2.576,2.326,1.960,1.645,1.282,0,p,0.900,0.925,0.950,0.975,0.990,0.995,0.999,u,p,1.282,1.439,1.645,1.960,2.326,2.576,3.090,标准正态分布的,p,分位数,p,分位数表是,教材中给出标准正态分布表的逆运算,。,分位数在实际问题中是常用的例如，旅客在机场排队领取登机牌，若要求95%的旅客能在15分钟内领到，那么，15就是旅客排队时间（单位为分钟）这一随机变量,X,的0.95分位数,x,0.95,；,又如，在生产车间机器设备发生故障需要维修，若要求90%的故障在30分钟内完成维修，那么，30就是维修时间（单位为分钟）这一随机变量,X,的0.90分位数,x,0.90,与数学期望一样，中位数也是描述随机变量的位置特征在实际中，中位数也常用例如，假设某一年上海市就业的大学毕业生当年的月薪金的中位数是2100元，这表明上海市该年大学毕业生中有将近半数人月薪金不高于2100元，另外将近半数人月薪金则不低于2100元,与数学期望相比，中位数总存在，但数学期望不一定存在这是它的优点中位数的缺点是，它没有象数学期望那样好的运算性质,众数,定义 设离散随机变量,X,的分布律为,P,X,=,x,k,=,p,k,k,=1,2,3,.,若存在实数,x,*,使得对每个,k,=1,2,3,有,P,X,=,x,P,X,=,x,k,则称,x,*为,X,(或,X,服从的分布)的众数.,(2)设连续随机变量,X,的概率密度函数为,f,(,x,),若存在实数,x,*,使得对一切,x,R 有,f,(,x,*),f,(,x,),则称,x,*为,X,(或,X,服从的分布)的众数.,作业 P,82,习题3.2,1，2，3，4,例5,设,X B,(,n,p,)，求,Var,(,X,).,解一,仿照上例求,Var,(,X,)=,E,(,X,2,),-,E,2,(,X,)=,np,(1,-,p,).,解二,引入随机变量,相互独立，,故,例5,已知,X,Y,相互独立,且都服从,N,(0,0.5),求,E,(|,X Y,|).,解,故,