数学思想方法第三讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三讲 集合思想,今日数学以集合论为基础，每一个数学概念都用集合来描述,格里森,一、集合的相关概念,把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合（简称集），其中每个事物叫做该集合的元素（简称元）。,给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个事物是否属于这个集合是明确的。如,“,学习成绩好的同学,”,不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而,“,语文和数学的平均成绩在,90,分及以上的同学,”,就是一个集合。,一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。,集合的表示法一般用列举法和描述法。,列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号,“,”,括起来表示集合的方法。,描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。,列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。,此外，有时也可以用封闭的曲线（韦恩图）来直观地表示集合及集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素。,一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合,A,中的任一元素，在集合,B,中都有唯一的元素,b,与之对应；并且在集合,B,中的任一元素,b,，在集合,A,中也有唯一的元素与之对应。,数集之间可以建立一一对应。,如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。,其他集合之间也可以建立一一对应。,如五（,1,）班有,25,个男生，,25,个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应；,再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合，这两个集合之间也可以建立一一对应。,二、集合思想的产生,集合论的产生为现代数学作出了巨大贡献，但却伴随着数学史上不多见的一个巨大悲剧。,三、集合思想的重要意义,集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。如数系的扩展，从小学的自然数到整数，再到中学的有理数、无理数和实数，都可以从集合的角度来描述。,有时用集合语言来表述有关概念更为简洁。如全体偶数的集合可表示为,x,|,x,=2,k,，,k,Z,。,集合沟通了代数（数）和几何之间的关系。如,y,=,kx,，既是正比例函数，又可以表示一条直线；也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足,y=,kx,的有序实数对所有组成的点的集合。,用集合图描述概念的分类及概念之间的关系，往往层次分明、直观清晰。如四边形的分类可以用韦恩图表示。,四、小学数学中集合思想的具体应用,在数的概念方面，如自然数可以从对等集合基数（元素的个数）的角度来理解。,在一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应，让学生理解“同样多”的概念，实际上就是两个对等集合的元素之间建立一一对应。,数的运算也可以从集合的角度来理解。如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集；再如求两数相差多少，通过把代表两数的实物图或直观图一对一地比较，来帮助学生理解用减法计算的道理：实际上就是把代表两数的实物分别看作集合,A,、,B,，通过把,A,的所有元素与,B,的部分元素建立一一对应，然后转化为求,B,与其子集（与,A,等基）的差集的基数。,在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系。如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合，记为,A,；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合，分别记为,B,、,C,、,D,，这三个集合就是集合,A,的三个互不相交的子集，,B,、,C,、,D,的并集就是,A,。再如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。,五、小学数学中集合思想的教学,第一、应正确理解有关概念。,两个数之间可以比较大小，但是两个集合之间无法直接比较大小，也就是一般不说两个集合谁大谁小。如有两个集合,A,、,B,，当且仅当它们有完全相同的元素时，称,A,、,B,相等，记为,A=B,。如,A=2,3,5,7,，,B=,x|x,是小于,10,的素数,。集合之间可以有包含关系，如,C=2,3,5,7,11,，则,A,是,C,的真子集。集合之间可以可以比较基数的大小，也就是比较元素的个数的多少。只要两个集合元素间能够建立一一对应的关系，那么就说两个集合的元素个数相等，就是基数相等，即等势或等基。如果,A,是,C,的真子集，就说,A,的基数小于,C,的基数。,对于有限集比较容易数出它的元素的个数，而对于无限集，又怎样比较它们元素个数的多少呢？如正整数集合与正偶数集合，它们的基数相等吗？,两个集合的元素，只要能够建立一一对应就基数相等。,正整数集合与正偶数集合的元素之间可以建立如下的一一对应关系：,1 2 3 4 5,24 6 8 10,这两个集合的元素个数相等，也就是它们的基数相等。,案例,1,：乒乓球比赛有,16,人参加,A,组的小组赛，规定采取淘汰赛决出小组第一名参加决赛。一共要进行多少场比赛？,分析：淘汰赛一般的规则是每两个人分为一组比赛一场，胜者进入下一轮继续进行两人一组比赛；如果出现单数就有一人轮空，直接进入下一轮比赛。这样一直进行下去，直到决出第一名。按照这个思路解答，只需要把每一轮比赛的场数算出来，最后加起来就行。第一轮共有,8,场比赛，第二轮共有,4,场比赛，第三轮共有,2,场比赛，第四轮共有,1,场比赛；所以总共有,15,（,8+4+2+1=15,）场比赛。,以上思路层次清楚、容易理解，小学生一般都可以接受，但是如果参加小组比赛的人比较多，计算起来就比较麻烦。下面用一一对应的思想来分析：因为每次比赛淘汰一个人，有一场比赛就淘汰一个人，没有比赛就不淘汰人，要想淘汰一个人就必须有一场比赛，也就是说比赛的场数与被淘汰的人数是一一对应的。在小组参赛的,16,人中，最后只有一人得第一名，要淘汰,15,人，所以比赛的场数为,15,场。,第二，正确把握集合思想的教学要求。,集合论思想虽然在小学数学中广泛渗透，但是集合的知识并不是小学数学的必学内容；因而应注意把握好知识的难度和要求，尽量使用通俗易懂的语言渗透集合思想。集合除了可以表示概念系统及概念间的关系外，利用韦恩图进行集合的直观运算，可以解决一些分类计数的问题。,案例,2,：六（,1,）班举办文艺活动，演出歌舞节目的有,9,人，演出小品等节目的有,12,人，两类节目都参加的有,5,人。该班共有多少人参加这两类节目的演出？,分析：为了便于理解集合的运算原理，借助韦恩图来分析。左边的圈里表示演出歌舞节目的人，右边圈里表示演出小品等节目的人。两个圈相交的共有的部分有,5,人，表示这,5,人既参加了歌舞节目，又参加了小品等节目的演出。左边圈中没跟另一个圈相交的单独的部分由,4,人，表示这,4,人只参加了歌舞节目的演出。因此，参加歌舞节目演出的,9,人由两部分组成：一部分是只参加歌舞节目演出的,4,人，另一部分是既参加歌舞节目又参加小品等节目演出的,5,人。同样道理，参加小品等节目演出的,12,人由两部分组成：一部分是只参加小品等节目演出的,7,人，另一部分是既参加小品等节目又参加歌舞节目演出的,5,人。,综合以上分析，可以得出：该班参加这两类节目演出的人数是,4+5+7=16,，或,9+12,5=16,。,第三，集合思想的教学要贯穿小学数学的始终。,集合思想在一年级学习之初，学生在学习人数和分类等知识中就已经有所接触，一直到高年级学习公因数和公倍数、三角形和四边形的分类、数的分类（正数、,0,、负数）等等，不同年级和不同知识领域都有所渗透。,这里涉及了用集合语言概念及概念间的关系、集合的元素之间的对应关系、集合的运算等等。,因此，集合思想的渗透不是一朝一夕的事情，而是坚持不懈的长期的过程。,