数值分析课件典型例题与习题

*,/36,数值分析,典型例题,I,一、二章内容提要,典型例题分析,例题与练习题,实验题介绍,化大为小 化繁为简,化难为易,核心的概念,误差,算法的构造与分析,收敛性 稳定性,复杂度,(,时间与空间,),等,*,有效数字概念,若近似值,x,的绝对误差限是某一位上的半个,单位,该位到,x,的第一位非零数字一共有,n,位,则称近似值,x,有,n,位有效数字,。,*,从左向右看第一个非零数,误差限不超过该位的半个单位,n,位有效数字,如果,x,具有,n,位有效数字,则相对误差满足,:,其绝对误差满足,:,如果一个规格化浮点数,则称近似数,x,具有,n,位有效数字。,迭代法思想,:,*,收敛性,收敛速度,Iterate:,To say or do,again,or,again and again,例,1,.,经过四舍五入得出,x,1,=6.1025,和,x,2,=80.100,试问它们分别具有几位有效数字,?,解,：,例,2,.,已知近似数,x,有两位有效数字,试求其相对误差限。,解,：,|,e,r,(,x,)|,1000,时,S,n,有三位有效数。,例,10,.,在计算机上对调和级数逐项求和计算,当,n,很大时,，,S,n,将不随,n,的增加而增加。试分析原因,。,例,11,.,证明方程,1-,x,-sin,x,=0,在区间,0,1,上有一根,使用二分法求误差不大于,0.5,*,10,-4,的根需要二分多少次？,提示,:,f,(0)=1,f,(1)=-sin10,。且,f,(x)=-1-cos,x,在区间,(0,1,严格单调递减。,例,12,.,构造求,e,x,+,10,x,-2=0,根的迭代法。,提示,:,故迭代法算法一阶收敛。,例,13,.,应用牛顿迭代法于方程,x,3,a=,0,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶,。,解,：,令,f,(,x,)=,x,3,a,，,则牛顿迭代公式,故立方根迭代算法二阶收敛,例,14,.,设,a,为正实数,试建立求,1/,a,的牛顿迭代公式,要求在迭代公式中不含有除法运算,并考虑迭代公式的收敛。,x,n+,1,=,x,n,(2,a x,n,),，,(,n=,0,，,1,，,2),所以,当,|1,a x,0,|0,迭代格式,例,16,.,解,:,Ex2.,若,x,*,是,f,(,x,)=0,的,m,重根,试证明修正的牛顿迭代法,至少为二阶收敛。,f,(,x,),1/,m,或,f,(,x,)/,f,(,x,),单根,Ex,3,对于复变量,z=x+i y,的复值函数,f,(,z,),应用牛顿迭代公式,时为避开复数运算,令,z,n,=x,n,+i y,n,f,(,z,n,),=A,n,+i B,n,，,f,(,z,n,),=C,n,+i D,n,证明,例,17,.,提示,:,取初值,x,1,=2,1/2,考虑序列单调有界,则该序列必有极限。,*,例,18,.,例,19,.,已知方程,x,3,-,x,2,-1=0,在,x,0,=1.5,附近有根,试判断下列迭代格式的收敛性。,例,20,.,证明由迭代格式,x,n+1,=,x,n,/2+1/,x,n,产生的迭代序列,x,n,对任意的,x,0,0,均收敛于,2,1/2,。,牛顿迭代法的收敛域问题,:,用牛顿迭代法求解方程,z,d,1=0,的复根。例如,d,=3,时,方程在复平面上三个根分别是,z,1,=1,选择中心位于坐标原点，边长为,2,的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标上不同颜色,(,例如红、绿和蓝,),。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图,。,%Perform Newton iterations,for k=1:maxIter;,Z=Z-(f(Z,d)./fprime(Z,d);,end,function y=f(x,d);,y=(x.d)-1;,end,function y=fprime(x,d);,y=d*(x.(d-1);,end,代码片段,1,:,%Find d roots of unity,and the mask,for j=1:d,root=exp(2*pi*i/d)j;%the jth root,Mj=abs(Z-root);%distance,%Each root gets a unique number in 1,d,mask=(Mj=tol)*j;,renderMat=renderMat+mask;,end,colormap(hsv);%Set the color map,imagesc(renderMat)%Render the fractal,代码片段,2,:,作业,题目,1,:,您研究领域中的数值分析问题？,*,题目,2,:,用,Newton,迭代法法画出最美的图形,标准,:,1.,图形美,2.,代码美,要求,:,1.m,文件,2.,说明文档,(word,或,pdf),