微积分09 空间直角坐标系与向量的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 空间直角坐标系与向量的概念,一、空间直角坐标系,二、向量的概念及其线性运算,三、向量的坐标表示,1.,空间直角坐标系,坐标面:在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为,坐标平面,简称,坐标面,.,面,面,面,一、空间直角坐标系,在空间直角坐标系中,点与三元数组之间有一一对应关系.,各卦限中点的坐标情况:,2.两点间的距离,例1,已知两点 与 ,在 轴上求一点 ,使,解,因为 在 轴上,所以设 点的坐标为,由题设 ,得,解得,所求点 为,1.向量的概念,向量的模:向量的大小(有向线段的长度),记作 , ,单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,记为,0,或,向量的表示: 或,或,二、向量的概念及其线性运算,2.向量的线性运算,(1),向量的加法,b,a,a+b,a,b,a+b,d,a,b,c,a,+,b,+,c,+,d,向量的加法满足下列运算规律:,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,(2)数与向量的乘积(数乘向量),定义2,设 是一个非零向量, 是一个非零实数,则,与 的乘积仍是一个向量,记作 ,且,数与向量的乘积满足下列运算规律:,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,1.向径及其坐标表示,向径,:在空间直角坐标系中,起点在原点 ,终点为 的向量 称为点 的向径.记为 或,基本单位向量:,称上式为向量 的坐标表达式,记作,三、向量的坐标表示,2.向量 的坐标表示式,3.向量的模与方向余弦的坐标表示式,4.向量线性运算的坐标表示,例2,设 ,求 的方向余弦.,解,例3,设向量 的两个方向余弦为,又 ,求向量 的坐标.,解,由 得,所以,即,或,第二节 向量的数量积与向量积,一、向量的数量积,二、向量的向量积,一、向量的数量积,1.数量积的概念,定义1,两向量 的模及其夹角余弦的乘积，称为向量的数量积,记为,即,说明:,(1)向量的数量积是一个数量而不是向量；,(3),(2)两非零向量,夹角的余弦,(4)设,为两个非零向量,由定义1,有,数量积满足如下运算规律：,(1)交换律：,(2)结合律：,(其中 为常数),(3)分配律：,另外,由(2)(3)可得,2.数量积的坐标表示式,.两非零向量夹角余弦的坐标表示式,设 均为非零向量,由两向量的数量积定义可知,解,例1,已知,求,例2,设力,作用在一质点上,质点由 沿直线移动到,.求,:(1)力 所作的功;,(2)力,与位移 的夹角(力的单位为 ,位移的单位为,).,解,因为,又因为,所以,所以,力,所作的功,(,J,),例3,求在 坐标面上与向量,垂直的单位向量,解,设所求向量为 ,因为它在 坐标面上,所以 ,又因为,是单位向量且与,垂直,所以,即,解之得,故所求向量,或,二、向量的向量积,1.向量积的概念,定义2 两向量 的向量积定义为,记作,;,其中,是同时垂直于,和 的单位向量,其方向按从,到 的右手规则确定.,说明:,(1)两向量的向量积是一个向量而不是数;,(4),(2),的模等于以,为邻边的平行四边形的面积,(3)设,为两个非零向量,则,a,b,向量积满足下列运算规律:,(1) 反交换律：,(2) 结合律:,(其中 为常数),(3) 分配律:,2.向量积的坐标表示式,a,对于两个非零向量,解,例4 设 求,例5,求垂直于 和 的单位向量.,解,因为 同时垂直 和 ,所以,=,=,例6,已知三角形 的顶点是,求三角形的面积.,解,根据向量积的定义,可知三角形 的面积,第三节 平面与直线,一、平面的方程,二、直线的方程,三、平面、直线的位置关系,1平面的点法式方程,法向量,因为,所以有,该方程称为平面 的,点法式方程,一、平面的方程,解,由平面方程的点法式得所求平面方程为,例1,求过点,且垂直于向量,的平面方程,即,且和平面,例2,求过点,垂直的平面方程,解,因为 在该平面上,已知平面的法向量,故,所求平面的法向量 与向量 和 都垂直,即,由公式得该平面的方程为,例3,求过点 和 三点的平面方程,故,解,所求平面的法向量 与向量 和 都垂直，而,由公式 得该平面方程为,即,从平面的点法式方程得,令,该方程称为平面的,一般式方程.,则,2平面的一般式方程,得,它表示过点 且以 为法向量的平面,可见，任一三元一次方程（ 不全为零）都表示一个平面.系数 为平面法向量的坐标,设 是其任一组解，即,平面通过原点(图9.16),图,9.16,(2)当 时，,图9.17,方程 的特殊情况:,(,1)当 时，,该平面平行于 轴（图9.17）,图,9.18,(3)当 时,表示的平面通过 轴(图9.18),同理,方程,分别表示平行于 轴和 轴的平面;,分别表示通过,轴和,轴的平面.,(4)当,时,，,图,9.19,当 时,该平面平行于 坐标面(图9.19),它表示 坐标面,同理，方程 和 分别表示平行 面和 面的平面;方程 和 分别表示 面和 面.,方程为,代入原方程并化简,得所求平面方程为,例4,求通过 轴和点 的平面方程.,解,因平面通过,轴,由以上讨论,可设其方程为,又点 在平面上,因此,即,解,设所求平面方程为,例5,一平面经过 三点，求此平面的方程.,又因,三点都在平面上,所以有,后两个方程分别减去第一个方程,得,所以,代入第一个方程得,即,因为,不能同时为零,所以,于是有,即得所求平面方程为,3平面的截距式方程,解此方程组得,设一平面过三点 (图9.20),求此平面方程,图9.20,设平面方程为 ，,因为,三点在该平面上,所以有,即得所求平面方程为,此方程称为平面的,截距式方程,其中,分别称为平面在,轴、,轴、,轴上的截距.,代入所设方程(因平面不过原点,),得,解,方程两边同除以5,得平面的截距式方程为,其中,例6,将平面 化为截距式方程,得,由,1直线的点向式方程与参数方程,方向向量:,向向量为,它的一个方,已知直线,L,上任意一点,求直线,L,的方程（图9.21）,图9.21,二、直线的方程,所以由两向量平行的充要条件可知,此方程组称为直线的,点向式方程,（或称,标准方程,）,设点,为直线,L,上任意一点则点 在直线 上的充要条件是,因为,注：,当 中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零,记其比值为,t,则有,此式称为直线,L,的,参数方程,，,t,为参数,例7,求过点,的直线方程,方向向量,故所求直线的方程为,上式也称为直线的,两点式方程,解,解,因所求直线平行于两平面.故直线的方向向量,s,垂直于两平面的法向量 及,例8,求过点 且平行于两平面 及,的直线方程.,所以取,因此,所求直线方程为,即,2直线的一般方程,设平面 的方程分别为：,则两个平面 的交线,L,的方程为,此方程称直线的,一般方程,例10,将直线方程,化为点向式方程及参数方程,解,先求直线上的一点,不妨令 ,代入原方程组得,解得,，即点 在直线上,再求该直线的一个方向向量,因为 分别垂直于,平面,及,的法向量,所以可取,所以直线的点向式方程为,令上式为,可得已知直线的参数方程为,1平面与平面的位置关系,两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角).,法向量,三、平面、直线的位置关系,因此 与 的夹角的余弦为：,特别地,例11,求两平面,的夹角,两平面的法向量分别为,所以两平面的夹角的余弦为,所以两平面夹角,解,2直线与直线的位置关系,两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角).,方向向量,因此 与 的夹角的余弦为,例12,求直线,和直线,的夹角,的方向向量分别为,解,则两直线 与 的夹角的余弦为,所以两直线的夹角,3直线与平面的位置关系,直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角,设直线 与平面 的垂直线的夹角为 ，与 的夹角为 ,则 .求直线与平面夹角,设直线 的方向向量为,平面,的法向量为,由两向量夹角的余弦公式,有,例13,已知直线,和平面,求 与 的夹角,的方向向量为,解,与 的垂线的夹角 的余弦为,因此， 与 的夹角,第四节 曲面与空间曲线,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、几种常见的二次曲面,四、空间曲线,定义:如果曲面 上每一点的坐标都满足方程,而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程,为曲面 的方程,而称曲面,为此方程的图形.,图9.23,一、曲面方程的概念,图9.24,例1,建立球心在点 ,半径为 的球面方程.,解,设 是球面上的任一点,则,而,所以,这就是球心在点 ,半径为 的球面方程.,当 时,得球心在原点,半径为 的球面方程为,柱面:直线 沿定曲线 平行移动所形成的曲面称为,柱面,.定曲线 称为柱面的,准线,动直线 称为柱面的,母线,.,例2,建立母线平行于 轴的柱面方程.,图9.26,解,设准线 是 面上的一条曲线,是柱面上的任意一点.过点 的母线与 面的交点 一定在准线 上,点 的坐标为 ,不论点 的竖坐标 取何值,它的横,坐标 和纵坐标 都满足方程,因此所求柱面方程为,在空间直角坐标系中,方程 表示以 面上的曲线 为准线,母线平行于 轴的柱面.,类似地,方程 表示以 面上的曲线,为准线,母线平行于 轴的柱面.,方程 表示以 面上的曲线,为准线,母线平行于 轴的柱面.,用 面和 面去截曲面,其截痕为,它们都是双曲线.,也表示单叶双曲面,中心轴分别是 轴、 轴.,旋转曲面:平面曲线 绕同一平面上定直线 旋转一周所形成的曲面称为,旋转曲面,.定直线 称为,旋转轴,.,图9.31,二、旋转曲面,例3,建立 面上一条曲线 绕 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程.,因为,所以,又因为 在曲线 上,所以,解,设 为旋转曲面上任一点,过点 作平面垂直于 轴,交 轴于点 交曲线 于点 则,所以旋转曲面方程为,同理,曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为,面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为,面上的曲线 绕 轴旋转的旋转曲面方程为 绕 轴旋转的旋转曲面方程为,例4,将 坐标面上的直线 绕 轴旋转一周,试求所得旋转曲面方程.,解,将 保持不变, 换成 得,即所求旋转曲面方程为,图9.32,由上时表示的曲面称为圆锥面.点 称为圆锥的顶点.,二次曲面:在空间直角坐标系中,若 是二次方程,则它的图形称为,二次曲面,.,截痕法:用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些交线进行分析从而把握曲面的轮廓特征,这种方法称为,截痕法,.,三、几种常见的曲面,1.椭球面,用三个坐标面分别去截椭球面,交线为:,图9.33,这些交线都是椭圆.,用平行于 面的平面 截椭球面,交线为,是平面 上的椭圆.,用平行其它两个坐标面的平面去截椭球面,分析的结果类似.,2.单叶双曲面,用三个坐标面截曲面,所得截线分别为,图9.34,3.双叶双曲面,图9.35,用 和 面截曲面,所得截线分别为,它们都是以 轴为实轴,虚轴分别为 轴和 轴的双曲线.,用平行于 面的平面 截曲面,得,当 时,其截痕是一椭圆;,当 时,其截痕缩为一点 和 ;,当 时,没有图形.,也表示双叶双曲面.,4.椭圆抛物面,图9.36,用 和 面截曲面,所得截线分别为,它们都是开口向上的抛物线.,用平面 截曲面,得,当 时,没有图形;,当 时,相交于一点 ;,当 时,所得截线为,5.双曲抛物面,用三个坐标面截曲面,所得截线分别为,它们分别表示两条相交直线、开口向上的抛物线和开口向下的抛物线.,图9.37,用平行于 和 面的平面 和 截曲面,所得截线分别为,用平行于 面的平面 截曲面,所得截线为,1.空间曲线的一般方程,四、空间曲线,例5,下列方程组表示什么曲线？,(1),(2),解,(1) 是球心在原点,半径为5的球面. 是平行于 面的平面,它们的交线是在平面 上的圆,(2)方程 表示球心在坐标原点 ,半径为 的上半球面;方程 表示母线平行于 轴的圆柱面,方程组表示上半球面与圆柱面的交线.,图9.39,2.空间曲线的参数方程,( 为参数),例6,设空间一动点 在圆柱面 上以角速度 绕 轴旋转,同时又以线速度 沿平行于 轴的正方向上升(其中 都是常数),则动点 的轨迹叫做螺旋线,试求其参数方程.,则动点的运动方程即螺旋线的参数方程为:,图9.40,如果令 ,以 为参数, 则螺旋线的参数方程为,其中 ,解,取时间 为参数,设 时,动点在 处,经过时间 ,动点由 运动到,3.空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 的一般方程为,消去 ,得,称为曲线 关于 面的,投影柱面,.,它与 面的交线就是空间曲线在 面上的,投影曲线,简称,投影,其方程为,同理,分别消去 和 ,得到 和 ,则曲线 在 和 面上的投影曲线方程分别为,图9.41,例7,求曲线,在 面上的投影曲线方程.,解,从曲线 的方程中消去 得,曲线 在 面上的投影曲线,方程为,