3.1.2瞬时速度与导数1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.2,瞬时速度与导数,平均变化率的概念：,一般地，已知函数,y,=,f,(,x,),，,x,0,，,x,1,是其定义域内不同的两点,则当,x,0,时，商,称作函数,y,=,f,(,x,),在区间,x,0,，,x,0,+,x,(,或,x,0,+,x,，,x,0,),的平均变化率。,记,x,=,x,1,x,0,=f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,).,则,y,=,y,1,y,0,=,f,(,x,1,),f,(,x,0,),1.,式子中,x,、,y,的值可正、可负，但,x,值不能为,0,， ,y,的值可以为,0,；,2,变式,平均变化率,O,x,y,y=f(x),B,A,已知物体运动位移和时间关系为,函数的平均变化率为,引例,即为物体运动的平均速度。,问题情境,:,跳水运动员从,10m,高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设,t,秒后运动员相对于水面的高度为,H(t)=-4.9t,2,+6.5t+10,试确定,t=2s,时运动员的速度。,(1),计算运动员在,2s,到,2.1s(t2,2.1),内的平均速度。,(2),计算运动员在,2s,到,2+,t s(t2,2+,t),内的平均速度。,时间区间,t,平均速度,2,，,2.1,0.1,-13.59,2,2.01,0.01,-13.149,2,2.001,0.001,-13.1049,2,2.0001,0.0001,-13.10049,2,2.00001,0.00001,-13.100049,2,2.000001,0.000001,-13.1000049,时间区间,t,平均速度,1.9,，,2,0.1 -12.611.99,2,0.01 -13.0511.999,2,0.001 -13.09511.9999,2,0.0001 -13.099511.99999,2,0.00001 -13.099951,该常数可作为运动员在,2s,时的瞬时速度。,设物体作直线运动所经过的路程为,s,=h(,t,),。,以,t,0,为起始时刻，物体在,t,时间内的平均速度为,就是物体在,t,0,时刻,的,瞬时速度,，即,所以当,t,0,时，比值,瞬时速度,函数的瞬时变化率：,函数,y,=,f,(,x,),，在,x,0,及其附近有意义,，,自变量在,x,=,x,0,附近改变量为,x,平均变化率为,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,).,则函数值相应的改变,y,=,当,x,0,时，,常数,常数 称为函数,f,(,x,),在点,x,0,的瞬时变化率,上述过程记作,即,如果函数,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内每一点都可导，就说,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内可导这时，对于开区间,(,a,b,),内每一个确定的值,x,，都对应着一个确定的导数 这样就在开区间,(,a,b,),内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内的,导函数,，简称为,导数,，记作,例,1,.,求,y=x,2,在点,x=1,处的,导数,解：,由定义求导数（三步法,）,步骤,:,变式,1.,求,y,=,x,2,+2,在点,x,=1,处的导数,解：,（,求极限时，若经整理后分母不含 ，则令其为,0,即可）,练习：,(1),求函数,y,=,x,2,在,x=,1,处的导数,;,(2),求函数 在,x=,2,处的导数,.,例,1,火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到,100,m,/,s,，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为,0,？,解：火箭的运动方程为,h,(,t,)=100,t,gt,2,，,在,t,附近的平均变化率为,=100,gt,g,t,。,当,t,0,时，上式趋近于,100,gt,。,可见,t,时刻的瞬时速度,h,(,t,)=100,gt,。,令,h,(,t,)=100,gt,=0,，解得,所以火箭熄火后约,10.2,s,向上的速度变为,0.,例,3.,求函数,y,=,x,2,在点,x,=3,处的导数。,解：因为,y,=(3+,x,),2,3,2,=6,x,+(,x,),2,.,所以,=6+,x,，,令,x,0,，,6,所以函数,y,=,x,2,在点,x,=3,处的导数为,6.,例,4,质点,M,按规律,s,(,t,)=,at,2,+1,作直线运动，若质点,M,在,t,=2,时的瞬时速度为,8m/s,，求常数,a,的值。,解：因为,s,=,a,(,t,+,t,),2,+1,(,at,2,+1),=2,at,t,+,a,(,t,),2,，,所以,=2,at,+,a,t,，,当,t,0,时，,s,=2,at,，,由题意知,t,=2,时，,s,=8,，即,4,a,=8,，解得,a,=2.,例,5,已知,y,=,ax,2,+,bx,+,c,，求,y,及,y,|,x,=2,。,解：,y,=,a,(,x,+,x,),2,+,b,(,x,+,x,)+,c,(,ax,2,+,bx,+,c,),=(2,ax,+,b,),x,+,a,(,x,),2,，,=(2,ax,+,b,)+,a,x,，,当,x,0,时，,y,= 2,ax,+,b,，,当,x,=2,时，,y,|,x,=2,=4,a,+,b,。,练习题,1,一物体的运动方程是,s,=3+,t,2,，则在一小段时间,2, 2.1,内相应的平均速度为（ ）,A,0.41 B,3,C,4 D,4.1,D,2,设,y,=,f,(,x,),函数可导，则,等于（ ）,A,f,(1) B,不存在,C,f,(1) D,3,f,(1),C,3,设 ，则 等于（ ）,A,B,C,D,C,4,若,f,(,x,)=,x,3,，,f,(,x,0,)=3,，则,x,0,的值是（ ）,A,1 B,1,C,1 D,C,5,设函数,f,(,x,)=,ax,3,+2,，若,f,(,1)=3,，则,a,=_,。,1,6,函数,y,=2,mx,+,n,的瞬时变化率是,.,2,m,7,函数 在,x,=1,处的导数是,.,小结：函数的瞬时变化率、导数函数,f(x),在,x,0,处的瞬时变化率就是在,x=x,0,处的导数求导数的一般步骤,