平面向量基本定理shalom

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量基本定理及坐标表示,平面向量的基本定理,2.3.2,平面向量的正交分解,及坐标表示,2.3.3,平面向量的坐标运算,shalom,温故知新,向量的加法,(,三角形法则,),a,b,a+b,a,b,a+b,向量的加法,(,平行四边形法则,),向量的减法,(,三角形法则）,a,b,a-b,向量的数乘运算,(1)|,a,|=|,|,a,|,(2),当,0,时,a,的方向与,a,方向相同；,当,0,时,a,的方向与,a,方向相反；,特别地，当,=0,或,a=0,时,a=0,对实数,和向量,a,2.,运算律：,设,a,b,为任意向量，,为任意,实数,，则有：,(,a,)=(),a,(,+,),a=,a+,a,(,a+b,)=,a+,b,特别地,:,3.,向量共线定理：,向量,a,（,a,0,）,与,b,共线，,当且仅当,有唯一一个实数,，使,b=,a,问题,:,一天,2,只住在正西方向的大猴子和,4,只住在北,偏东,30,方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分,别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是,100,牛顿,每只小猴子的拉力是,50,牛顿,问这筐桃子,往哪边运动,?,问题,:,一天,2,只住在正西方向的大猴子和,4,只住在北,偏东,30,方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分,别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是,100,牛顿,每只小猴子的拉力是,50,牛顿,问这筐桃子,往哪边运动,?,如果是,1,只大猴子和,4,只小猴子呢,?,N,M,e,1,e,2,a,如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改变大小猴子的数量,?,a,C,e,1,e,2,o,B,A,OC=OM+ON,=,xe,1,+y e,2,给定平面内任意两个不共线向量,e,1,、,e,2,，,其他任,一向量是否都可以表示为,xe,1,+y e,2,的形式？,N,M,a,C,e,1,e,2,o,B,A,OC=OM+ON,=,xe,1,+y e,2,e,1,e,2,a,如果 ，是同一平面内的两个,不共线,的,向量,那么对于这一平面内的,任一向量,有且只有,一对实数,、,使,其中不共线的向量,叫做表示这一平面内的所有向量的一组,基底,。,平面向量的基本定理,o,C,a,N,M,F,E,思考,:,平面内,向量的基底是否唯一？,例,1,已知向量,e,1,e,2,求作向量,-2.5,e,1,+3,e,2,.,于是,OC,就是所求作的向量,.,(2),作,OACB.,e,1,e,2,O,C,作法：,(1),任取一点,o,作,OA=-2.5,e,1,OB=3,e,2,-,2.5,e,1,A,B,3,e,2,e,1,e,2,a,N,M,e,1,e,2,o,a,C,OC=OM+ON,=,xe,1,+y e,2,平行四边形做法唯一，所以实数对,x,y,存在唯一,对定理的理解,:,1),基底,:,不共线,的向量,e,1,e,2,。,同一平面可以有不同基底,2),平面内的,任一向量,都可以沿两个不共线的,方向分解成两个向量的和的形式；,3),分解是,唯一,的,思考,:,一天,1,只住在正西方向的大猴子和住在北,偏东,30,方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分,别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是,100,牛顿,每只小猴子的拉力是,50,牛顿,问这筐桃子,往正北运动,要几只小猴子,?,30,？,30,向量的夹角,已知两个非零向量,a,和,b,如图，,则,AOB=,（,0 180,）,叫做向量的夹角,当,=0,时，,a,与,b,同向,当,=180,时，,a,与,b,反向,a,与,b,的夹角是,90,，则,a,与,b,垂直，记作,a b,o,B,A,a,b,共起点,A,B,C,思考,:,正,ABC,中,向量,AB,与,BC,的夹角为几度,?,D,把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量,正交分解,2.3.2,平面向量的正交分解,a,=,x,i,+,y,j,有且只有一对实,数,x,、,y,，使得,分别与,x,轴,、,y,轴方向相同的两单位向量,i,、,j,能否作,为基底？,O,x,y,i,j,任一向量,a,，用这组基底可表示为,a,（,x,，,y,）叫做向量,a,的坐标，记作,a,=,(x,y),那么,i,=,（，）,j,=(,，,),0=,（，）,1 0,0 1,0 0,2.3.2,平面向量的坐标表示,O,x,y,i,j,a,A,(,x,y,),a,1以原点,O,为起点作 ，点,A,的位置由谁确定?,由,a,唯一确定,2点,A,的坐标与向量,a,的坐标的关系？,两者相同,向量,a,坐标（,x,，,y,）,一 一 对 应,概念理解,3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？,2.3.2,平面向量的坐标表示,解：由图可知,同理，,例,2,如图，用基底,i,，,j,分别表示向量,a,、,b,、,c,、,d,，,并,求它们的坐标,A,A,2,A,1,如图，用基底,i,，,j,分别表示向量,a,、,b,、,c,、,d,并求出它们的坐标,.,A,A,1,A,2,a,b,c,d,解：,同理，,b,=-2,i,+3,j,=(-2,3),c,=-2,i-,3,j,=(-2,-3),d,=2,i,-3,j,=(2,-3),y,x,O,1 2 3 4,-4 -3-2-1,5,4,3,2,1,-1,-2,-3,-4,-5,j,i,1 2 3 4,由图可知,a,=,AA,1,+,AA,2,=2,i,+3,j,a,=,(2,3),课堂小结：,1.,平面向量的基本定理,（书本,94,页）,如果,e,1,，,e,2,是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,a,有且只有一对实数,、,使,a=,e,1,+,e,2,2.,向量的夹角：,共起点的两个向量形成的角,4.,向量的坐标表示,3.,基本定理的应用,e,1,+,e,2,=xe,1,+,y,e,2,把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量,正交分解,。,分别与,x,轴,、,y,轴方向相同的两单位向量,i,、,j,作为基底，任一向,量,a,，用这组基底可表示为,a,=,x,i,+,y,j,，,（,x,，,y,）叫做向量,a,的坐标,平面向量的坐标运算,平面向量的坐标运算,1.已知,a,，,b,，求,a,+,b,，,a,-,b,解：,a,+,b,=(,i,+,j,)+(,i,+,j,),=（+),i,+（+),j,即,a+b,同理可得,a-b,两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应,坐标的和（差）,平面向量的坐标运算,例,3,已知 求,x,y,O,解：,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐,标减去始点的坐标,实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相,应坐标,2.3.3,平面向量的坐标运算,例,4,已知,a,=（2，1），,b,=（-3，4），,求,a+b,，,a-b，3a+4b,的坐标,解：,a+b=,（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；,a-b=,（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；,3a+4b=3,（2，1）+4（-3，4）,=（6，3）+（-12，16）,=（-6，19）,2.3.3,平面向量的坐标运算,例,5,已知,ABCD,的三个顶点,A、B、C,的坐标分别为,（2，1）、（1，3）、（3，4），求顶点,D,的坐标,解法,1,：设顶点,D,的坐标为（,x,，,y,）,A,B,C,D,x,y,O,例,5.,已知平行四边形,ABCD,的三个顶点,A,B,C,的坐标分别为（,-2,，,1,）（,-1,，,3,）（,3,，,4,），求顶点,D,的坐标。,A,B,C,D,O,解：设顶点,D,的坐标为（,x,，,y,）,例,5.,已知平行四边形,ABCD,的三个顶点,A,B,C,的坐标分别为（,-2,，,1,）（,-1,，,3,）（,3,，,4,），求顶点,D,的坐标。,A,B,C,D,A,B,C,D,O,O,随堂练习,坐标是,A,、,(3,2)B,、,(2,3)C,、,(-3,-2)D,、,(-2,-3),B,A,、,x=1,y=3 B,、,x=3,y=1,C,、,x=1,y=-3 D,、,x=5,y=-1,B,标,坐标为,A,、,(x-2,y+1)B,、,(x+2,y-1),C,、,(-2-x,1-y)D,、,(x+2,y+1),C,B,B,标,的坐标为,(i,j),则点,A,的坐标为,A,、,(m-i,n-j)B,、,(i-m,j-n),C,、,(m+i,n+j)D,、,(m+n,i+j),A,小结,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示,补充,1,已知,ABCD,的三个顶点,A、B、C,的坐标分别为,（2，1）、（1，3）、（,-,3，4），求顶点,D,的坐标,小结,:,1.,向量坐标的定义,;,2.,两个向量相等的条件,;,3.,平面向量的坐 标运算,向量加法与减法,实数与向量的积,向量坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的坐标之间的关系,作业布置,作业本课后练习习题能写则写,