大学数学微积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,中央财经大学,第二章 导数、微分、边 际与弹性,经济数学微积分,函数的微分,中央财经大学,若,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处有(有限)导数,则,现在反过来想一想：,若在,x,0,点处,y,=,f,(,x,),的增量,y,可以,表示为 一个线性函数与一个高阶无穷小量,之和的形式,回忆讲过的函数的增量与导数之间的关系,那么,我们自然要问,A,=?,就是说,在点,x,0,处若可用关于自变量的增,量,x,的线性函数逼近函数的增量,y,时,其关系式一定是,y,=,f,(,x,0,),x,+o(,x,),我们称,f,(,x,0,),x,(,或,A,x,),为函数在点,x,0,处,增量的线性主部,通常将它记为,d,y,=,f,(,x,0,),x,(d,y,=,A,x,).,微分,一.函数的微分,将以上的讨论归纳一下,可得出什么结论?,1.微分的概念,y,=,A,x,+o(,x,),此时,称,f,(,x,),在点,x,0,处可微,。,设,y,=,f,(,x,),在 U(,x,0,),有定义,给,x,0,以增量,x,且,x,0,+,x,U(,x,0,),。,如果函数相应的增量可表示为,则称,y,的线性主部为,f,(,x,),在点,x,0,处的微分,记为 d,y,=,A,x,其中,A,叫微分系数,。,2.可微与可导的关系,定理,y,=,f,(,x,0,),x,+o(,x,),d,y,=,f,(,x,0,),x,也就是说,f,(,x,),在点,x,0,处的可微性与,可导性是等价的,且,f,(,x,),在点,x,0,处可微,则,解,什么意思？,例,1,自变量的增量就是自变量的微分：,函数的微分可以写成:,该例说明:,此外,当,x,为自变量时,还可记,即函数,f,(,x,),在点,x,处的导数等于函数的,微分 d,y,与自变量的微分 d,x,的商,故导数也,可称为微商.,哈哈！除法,这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.,3.微分的几何意义,y,D,y,d,几何上,函数,y,=,f,(,x,),在点,x,处的微分表示为:相应于自变量,x,的改变量,x,曲线,y,=,f,(,x,),在点,P,(,x,y,),的切线上纵坐标的改变量.,微分的运算法则,1.微分的基本公式,可微,可导,微分的基本公式与导数的基本公式相似,微分公式一目了然,不必讲了.,基本初等函数的导数(微分)公式：,一阶微分形式不变性,(,复合函数微分法则,),在点,x,0,处可微.,按微分的定义,但,故,说明什么问题？,我们发现,y,=,f,(,u,),当,u,为中间变量,时的微分形式与,u,为自变量时的微分的形,式相同,均为 d,y,=,f,(,u,)d,u,这种性质称为,函数的一阶微分形式不变性.,解,故,例,2,解,例,3,三.二阶微分,其二阶微分为,设函数,y,=,f,(,x,)二阶可导,当,x,为自变量时,由此看出,当,x,为自变量时,除法,类似可定义,n,阶微分:,注意这里,x,是自变量,四.微分在近似计算中的应用,函数增量的近似值：,函数值的近似值：,将半径为,R,的球加热.如果球的半径,估计球的体积的增量.,伸长,解,则,由,所以,球的体积增量大约为,例,5,得,解,例,6,例7,解,经济数学微积分,谢谢大家！,中央财经大学,