复变函数项级数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 解析函数的级数表示,Infinite series,复变函数项级数,幂级数,解析函数的泰勒展开,解析函数的罗朗展开,单值函数的孤立奇点,本章内容,复变函数项级数的敛散性,定义,复变函数项级数:,一般项或通项,3.1,复变函数项级数,如下形式的无穷级数为复变函数项级数,1.,收敛与发散的定义 (convergence/divergence),若级数在区域,（或曲线,l,）上所有点均收敛，则称级数在,（或,l,）上收敛，级数收敛的区域称为收敛域。,证明：,由级数收敛定义,级数收敛的必要条件,（1）,级数收敛的必要条件,级数收敛的必要条件是：,2. 级数 的收敛条件,S,n,(,z,),S,n+p,(,z,),注意：,其中,（2）,级数收敛的充要条件,1. 级数绝对收敛的定义,(absolute convergence),3.1.2 绝对收敛级数的定义、判别法和性质,2.,绝对,收敛级数的判别法,I.达朗贝尔(DAlembert)判别法（比值判别法）,或者表述为,：,III. 高斯判别法,II. 柯西判别法（根值判别法 ）,IV. 比较判别法,1）,2）,可用上述四类判别法计算幂级数的收敛半径。,3. 绝对收敛级数的性质,绝对收敛的级数，可任意交换其各项的次序，所得级数仍绝对收敛且其和不变。,两个绝对收敛的级数可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数，并且有如下描述：,1. 级数一致收敛的定义,(uniform convergence),3.1.3 一致收敛级数的定义、判别法和性质,注意：函数项级数的收敛与一致收敛的区别。,2. 级数一致收敛的充分必要条件,（柯西一致收敛判据）,3. 一致收敛级数的性质,（1）,M,判别法,（2）判别法2,4. 一致收敛级数的性质,（1）逐项求极限（连续性）,（2）逐项可积性,（3）逐项可导维尔斯特拉斯(Weierstrass)定理,I.,II.,证明：,对于,内任意一条闭围线,l,内的,z,点，有,（科西积分公式）,本节涉及书中内容,3.1.1 复变函数项级数的敛散性3.1.2 绝对收敛级数的定义、判别法和性质,3.1.3 一致收敛级数的定义、判别法和性质,