3.2复数代数形式的加减运算及其几何意义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,台山市李谭更开纪念中学数学组,人教A版选修1-2,第三章数系的扩充和复数的引入,台山市李谭更开纪念中学数学组,杨义清,复数代数形式的四则运算,及其几何意义,练习,1,若,(,m,2,m,),(,m,2,3,m,2),i,是纯虚数，则实数,m,的值为,A,1 B,1,或,2,C,0D,1,，,1,，,2,2,若实数,x,，,y,满足,x+y,+(,x,y,),i,2,，则,xy,的值是,A,1 B,2 C,2 D,3,3.1,i,i,2,i,3,i,4,的值等于,_,C,A,1+i,前面我们学习了复数的概念及其几何意义：,x,实轴,y,虚轴,O,z:,a,+,bi,r,=|z|,1.,复数,z=,a+b,i,，表示向量：,oz,2.,复数的模等于向量的模：,3.,相等的向量表示同一个复数。,下面我们就来进一步讨论复数的运算性质,实部加实部，虚部加虚部,z,1,=a+bi,z,2,=,c+di,是任意的两个复数，那么,(,a+bi)+(c+di,)=(,a+c)+(b+d)i,因此，两个复数的和仍然是一个确定的复数,复数的加法满足交换律和结合律吗？,规定,1,：复数的加法规则：,1.,加法的代数运算：设，,z,1,z,2,z,3,R,，有：,z,1,+z,2,=z,2,+z,1,(z,1,+z,2,)+z,3,=z,1,+(z,2,+z,3,),(,交换律,),(,结合律,),2,加法的,几何意义,：,z,1,=a+bi,z,2,=,c+di,x,y,o,z,1,=,a+bi,z,2,=,c+di,z=(,a+c)+(b+d)i,平行四边形法则（三角形法则）,首尾相连，首指尾,例：,z,1,=2+3i,z,2,=-1+4i,求,z,1,+z,2,3.,减法的运算：,如何理解复数的减法？,1.,代数式：,z=a+bi,z,1,=c+di,且,z,1,+z,2,=z,则,z,2,=x+yi,z,1,+z,2,=z,(,c+x)+(d+y)i,=,a+bi,x=a-c,y=,b-d,2.,几何意义,：,x,y,o,z,1,=(a-,c)+(b-d)i,z,2,=,c+di,z=,a+bi,平行四边形法则（三角形法则）,起点相同，指被减,实部减实部,虚部减虚部,(,a+bi)-(c+di,)=(a-,c)+(b-d)i,例：,z,1,=2+3i,z,2,=-1+4i,求,z,1,-z,2,例,1.,计算,(5-6i)+(-2-i)-(3+4i),解 原式,5+(-2)-(3)+(-6)+(-1)-4i,=0+(-11)i,=-11i,例,2,如图向量,Z,表示复数,Z,，试作出下列向量：,x,y,z,1.z,+1,2.z-i,3.z+(2-i),课前练习,1,、复数,对应的点在虚轴上，则（）,2,、计算：,3,、已知,2a+1+(b-1)i=3+4i,，求,a,b,。,规定,2:,复数的乘法法则：,因此，两个复数的乘积仍然是一个确定的复数，,它和多项式的运算规则一致,复数的乘法是否满足,交换律,、,结合律,以及对加法的,分配律,？,复数的乘法法则：,设 ，是任意两个复数，那么它们的积,本质是分配律（去括号法则）,我们比较容易证明这些性质：,1.,交换律：,z,1,z,2,=z,2,z,1,2.,结合律,:(z,1,z,2,)z,3,=z,1,(z,2,z,3,),3.,分配律：,z,1,(z,2,+z,3,)=z,1,z,2,+z,1,z,3,例,3,计算 ,解：,例,4,求 ,解：,两个,共轭复数,的积是一个实数，这个实数等于每个复数的模的平方，即,两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数复数,z,的共轭复数记作,复数的乘法中可以用乘法公式,平方差公式、完全平方公式,若,z,a,b,i(,a,，,b,R,),，则,a,b,i,共轭复数所对应的点关于实轴对称容易证明有以下特点：,1.,2.,3.,4.,(,z,2,0),的共轭,，,共轭的,例,4,设 ，求证：,（,1,）；（,2,）,证明：（,1,）,(2),实数的除法是其乘法的,逆运算,，而向量是,没有除法运算,的，那么复数的除法运算情况怎样的呢？,复数的除法法则为：,共轭复数有理化,复数的乘方：,对任何 及 ，有,特殊的有：,一般地，如果 ，有,例,5,计算,解法,1,：原式,解法,2,：原式,小结：一定要熟记下列等式：,小结,1.,复数加法的代数运算法则及其几何意义,2.,复数的乘法以及除法的代数运算,3.,共轭复数,