积分计算旋转体的体积

,6.2,定积分的几何应用,*,June 28,2012,四川大学数学学院,徐小湛,用二重积分计算旋转体的体积,蜀南竹海,1,作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。,本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。,将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、,最后，举例加以说明。,2,先看特殊的情形,旋转轴为坐标轴,3,设,D,是上半平面内的一个有界闭区域。将,D,绕,x,轴,旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积,V,x,。,我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。,D,4,D,在区域,D,的(,x,y,)处取一个面积元素,它到,x,轴的距离是,y,（如图）。,该面积元素绕,x,轴旋转而成的旋转体的体积约为：,（体积元素）,于是整个区域绕,x,轴旋转而成的旋转体的体积为：,5,D,命题1：上半平面内一个有界闭区域,D,绕,x,轴旋转而成的旋转体的体积为：,6,D,命题2：右半平面内一个有界闭区域,D,绕,y,轴,旋转而成的旋转体的体积为：,同理,7,下面针对不同的区域将二重积分化为定积分得到熟悉的旋转体体积公式,8,x,型区域,绕,x,轴,旋转,9,y,=,f,(,x,),如果,圆片法,则,D,绕,x,轴,旋转的旋转体体积为：,10,y,=,f,(,x,),y,=,g,(,x,),如果,则,D,绕,x,轴,旋转的旋转体体积为,垫圈法,11,y,型区域,绕,y,轴,旋转,12,x,=,f,(,y,),如果,则,D,绕,y,轴,旋转的旋转体体积为：,圆片法,13,x,=,f,(,y,),x,=,g,(,y,),如果,则,D,绕,y,轴,旋转的旋转体体积为：,垫圈法,14,x,型区域,绕,y,轴,旋转！,注意：一般教材没有介绍这个公式,。,15,y,=,f,(,x,),y,=,g,(,x,),如果,则,D,绕,y,轴,旋转的旋转体体积为：,柱壳法,16,下面看一个极坐标的情形,17,如果,D,是曲边扇形：,则,D,绕,极轴,(,x,轴,)旋转的旋转体体积为：,18,我们用命题1来推导一个有关区域,D,的,形心(质心),和,旋转体体积,之间的关系的定理：,古尔丁定理,Paul Guldin（古尔丁）,1577 1643,Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity.,19,D,上半平面内一个,有界闭区域,D,绕,x,轴旋转而成的旋转体的体积,等于,该区域的,形心,所经过的路程与,D,的面积,A,的乘积,。,古尔丁定理,形心,A,20,D,形心,A,如果你很容易求得,D,的面积和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积。,21,下面来看一般的情形,一般的区域,&,一般的旋转轴,22,设,D,是,xOy,坐标平面内的一个有界闭区域。直线,L,与,D,的内点不相交（如图）。将,D,绕直线,L,旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积,V,。,我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。,D,L,23,D,在区域,D,的(,x,y,)处取一个面积元素,它到直线,L,的距离是：,该面积元素绕,L,旋转而成的旋转体的体积约为：,于是整个区域,D,绕直线,L,旋转而成的旋转体的体积为：,设直线,L,的方程为,ax,+,by,+,c,=0。,L,24,D,命题 3 区域,D,绕直线,ax,+,by,+,c,=0（,D,在直线的一侧）旋转而成的旋转体的体积为：,L,25,下面举几个例子来说明命题 3 中的公式的应用,所有计算都用数学软件,Maple,验证了,26,例1 求由,y,=2,x,和,y,=,x,2,所围区域,D,绕直线,y,=2,x,旋转的旋转体体积,V,。,f:=(x,y)-2*x-y;,x1:=0:x2:=2:y1:=x-x2:y2:=x-2*x:,int(f(x,y),y=y1.y2);,int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,(2*Pi/sqrt(5)*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=(2*Pi/sqrt(5)*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,with(plots):,quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):,display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,27,例2 求由,x,=,y,2,和,y,=,x,2,所围区域,D,绕直线,y,=,x,-1旋转的旋转体体积,V,。,f:=(x,y)-y-x+1;,x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):,int(f(x,y),y=y1.y2);,int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,with(plots):,quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):,display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,28,例3 求由,y=,0,y=,ln,x,和,x=e,所围区域,D,绕直线,y,=-,x,旋转的旋转体体积,V,。,f:=(x,y)-y-x+1;,x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):,int(f(x,y),y=y1.y2);,int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);,with(plots):,quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):,display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,29,也可以按先,x,后,y,的积分次序计算二重积分：,f:=(x,y)-x+y;,y1:=0:y2:=1:x1:=y-exp(y):x2:=y-exp(1):,sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),x=x1(y).x2(y),y=y1.y2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),x=x1(y).x2(y),y=y1.y2);,30,以上几个例子说明用二重积分计算旋转体的体积是很方便的,尤其是旋转轴不平行于坐标轴时这种方法特别显示其优越性。,31,