运输问题的线性规划

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主讲,人,人：,卫,斌,斌,制,作,作：,魏永,牛,牛,天水,师,师范,学,学院,数,数,理,理与,信,信息,科,科学,学,学院,数,数,学,学系,年,年,月,月,线性,规,规划,的,的运,输,输问,题,题,在处,理,理产,、,、供,、,、销,的,的经,济,济活,动,动中,，,，会,经,经常,遇,遇到,物,物资,调,调拨,的,的运,输,输问,题,题。,如,如粮,棉,棉油,、,、煤,炭,炭、,钢,钢铁,、,、水,泥,泥、,化,化肥,、,、木,材,材等,物,物资,要,要由,若,若干,个,个产,地,地调,运,运到,若,若干,个,个销,售,售地,。,。问,题,题是,，,，怎,样,样制,定,定合,理,理的,调,调用,方,方案,才,才能,使,使总,运,运输,费,费用,最,最少,？,？本,章,章将,专,专门,讨,讨论,这,这类,特,特殊,形,形式,的,的线,性,性规,划,划问,题,题。,导,言,第五,章,章,运,运,输,输问,题,题,例,某,某食,品,品公,司,司经,销,销的,主,主要,商,商品,之,之一,是,是糖,果,果，,它,它下,面,面设,有,有三,个,个加,工,工厂,。,。某,个,个的,产,产量,分,分别,为,为,A,1,7t,，,，A,2,4t,，,，A39t,该公司,把,把这些,糖,糖果分,别,别运往,四,四个地,区,区的门,市,市部销,售,售，各,地,地区每,天,天的销,售,售量为,：,：,B,1,3t,，,，B,2,6t,，,，B,3,5t,，,，B,4,6t,。已知,从,从各个,加,加工厂,到,到各销,售,售部门,每,每吨的,运,运价见,下,下表：,5.1,运,运,输,输问题,的,的数学,模,模型,3,10,4,7,A,3,8,2,9,1,A,2,10,3,11,3,A,1,B,4,B,3,B,2,B,1,门市部,加工厂,单位：元/t,问：该,食,食品公,司,司应如,何,何调运,，,，在满,足,足各部,门,门销售,的,的情况,下,下，使,总,总的运,费,费支出,为,为最少,？,？,产销平,衡,衡的运,输,输问题,无论全,国,国或一,个,个地区,，,，在各,种,种生产,或,或生活,物,物资调,运,运中都,可,可以提,出,出入上,述,述问题,类,类似的,例,例子。,现在把问题,概,概括一下，,在,在线性规划,中,中我们研究,这,这样一类运,输,输问题：,5.1,运,运输问题的,数,数学模型,产销平衡的,运,运输问题,设有某种物,资,资要从m个,产,产地（或称,发,发点）A,i,(i=1，2，m),运往n个销,地,地（或称收,点,点）B,j,(j=1，2，n),，A,i,的产量为a,i,，B,j,的销量为b,j,，把,A,i,运到,B,j,的单位运价,设,设为c,ij,，问怎样编,制,制调运方案,才,才能使总运,费,费最少？,假设从A,i,运到B,j,的物资数量,为,为x,ij,，总运费为S，总产量=总销量。,那,那么这个运,输,输问题的数,学,学模型是：,5.1,运,运输问题的,数,数学模型,产销平衡的,运,运输问题,产销平衡的,运,运输问题,5.1,运,运输问题的,数,数学模型,运输问题的,数,数学模型是:,产销平衡表,产量a,i,产地,销地,销量b,i,1 n,m,b,1,b,2,b,n,a,1,a,2,a,m,x,11,x,12,x,1n,x,21,x,22,x,2n,x,m1,x,m2,x,mn,产地,销地,1 n,m,c,11,c,12,c,1n,c,21,c,22,c,2n,c,m1,c,m2,c,mn,单位运价表,产销平衡的,运,运输问题,5.1,运,运输问题的,数,数学模型,运输问题的,数,数学模型是:,C=(c,11,，c,12,，c,1n,，c,21,，c,22,，c,2n,，c,m1,，c,m2,，c,mn,),B=（a,1,，a,2,，a,m,，b,1,，b,2,，b,n,),T,X=(x,11,，x,12,，x,1n,，x,21,，x,22,，x,2n,，x,m1,，x,m2,，x,mn,),T,5.1,运,运输问题的,数,数学模型,其矩阵形式,为,为,产销平衡的,运,运输问题,（1）产量,大,大于销量的,情,情形,5.1,运,运输问题的,数,数学模型,产销不平衡,运,运输问题的,转,转化,其运输问题,的,的数学模型,是,是,由于总量,大,大于总销,量,量，所以,多,多余物资,应,应储存在,产,产地。社,某,某产地,A,i,的多余存,储,储量为,x,i,n+1,，于是运,输,输问题的,约,约束条件,方,方程组为,：,：,则,5.1,运,运输问,题,题的数学,模,模型,产销不平,衡,衡运输问,题,题的转化,5.1,运,运输问,题,题的数学,模,模型,可将不平,衡,衡的运输,问,问题（5.3）化,为,为如下的,平,平衡运输,问,问题,产销不平,衡,衡运输问,题,题的转化,令,（2）产,量,量大于销,量,量的运输,问,问题,这时可增,加,加一个设,想,想的发点A,m+1,，发出量,为,为,并令该发,点,点到收点,B,的运价C,.,（,，,，,，,，），,同,同样可将,不,不平衡的,运,运输问题,转,转化为平,衡,衡的运输,问,问题。,如无特别,说,说明，本,章,章仅限于,对,对平衡问,题,题的运输,问,问题求解,的,的讨论。,同一般的,线,线性规划,问,问题一样,，,，运输问,题,题的最优,解,解也一定,能,能在它的,基,基本可行,解,解中找到,。,。由于运,输,输问题（,.）,的,的约束系,数,数矩阵,的,的前行,之,之和恰好,等,等于后,行,行之和，,即,即矩阵,的,的行向量,组,组线性相,关,关，因此,的秩必,小,小于,+,5.1,运,运输问,题,题的数学,模,模型,产销不平,衡,衡运输问,题,题的转化,5.1,运,运输问,题,题的数学,模,模型,产销不平,衡,衡运输问,题,题的转化,根据以上,讨,讨论可知,，,，运输问,题,题（5.2）的基,矩,矩阵应由m+n-1个线性,无,无关的列,向,向量组成,，,，这些列,向,向量是约,束,束方程Ax=b中,去,去掉多余,方,方程后剩,下,下的m+n-1个,方,方程的系,数,数列向量,，,，因此在,研,研究运输,问,问题的基,时,时只要在A中找到m+n-1个线性,无,无关的系,数,数列向量,就,就可以了,。,。,运输问题,中,中的约束,方,方程和变,量,量个数一,般,般比较多,。,。例如m=25,n=500时，就,有,有525,个,个约束方,程,程和12500个,变,变量，这,样,样的问题,即,即使使用,电,电子计算,机,机求解也,很,很困难。,但,但根据运,输,输问题具,有,有的特殊,结,结构，有,专,专门为其,设,设计的求,解,解方法，,这,这里不作,介,介绍。对,小,小规模的,运,运输问题,的,的求解，,可,可通过表,上,上作业法,和,和图上作,业,业法去完,成,成。,5.1,运,运输问,题,题的数学,模,模型,因此秩（A）=m+n-1。同样可得A的增广矩阵 =（a,b）的秩也等于m+n-1。所以（5.2）式的m+n个等式约束中有一个是多余的，于是增广矩阵 的任意一行都可用其余m+n-1行线性表出。这样，运输问题（5.2）中去掉任一个等式约束后就成为标准形式的线性规划问题，便可用单纯形或对偶单纯形方法求解。,产销不平,衡,衡运输问,题,题的转化,B,1,B,j,B,n,发量,A,1,x,11,C,11,x,ij,C,ij,x,1n,C,1n,a,1,A,j,x,i1,C,i1,x,ij,C,ij,x,in,C,in,a,i,A,m,x,m1,C,m1,x,mj,C,mj,x,mn,C,mn,a,m,收量,b,1,b,j,b,n,5.2,运,运输问,题,题的表上,作,作业法,对于小规,模,模的运输,问,问题其求,解,解过程可,以,以在表上,进,进行。,5.2,运,运输问,题,题的表上,作,作业法,表中共有mn个格,子,子，每个,格,格子对应,一,一个变量,求解运输,问,问题的首,要,要任务是,，,，在表上,找,找到m+n-1个,格,格子对应,的,的一组变,量,量，,是一组变,量,量。,为此，先,引,引入以下,概,概念和结,论,论。,定义,5.1,5.2,运,运输问,题,题的表上,作,作业法,称变量组,的,的集合,是一个闭,回,回路。其,中,中i,1,i,2,i,s,互不相同,，,，j,1,j,2,j,s,互不相同,称其中,每,每个变量,为,为闭回路,的,的顶点。,例如，变,量,量组,中的i,1,=4,i,2,=3,i,3,=1,j,1,=5,j,2,=1,j,3,=3 各,互,互不相同,，,，若在表,格,格中把相,邻,邻两个顶,点,点，第一,个,个顶点与,最,最后一个,顶,顶点用直,线,线段连接,起,起来，就,可,可在下表5.2中,画,画出这个,闭,闭回路。,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,A,1,A,2,A,3,A,4,X,45,X,41,X,31,X,33,X,13,X,15,定义,5.1,5.2,运,运输问,题,题的表上,作,作业法,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,A,1,A,2,A,3,A,4,X,11,但变量组x,11,x,12,x,22,x,24,x,44,x,42,x,21,不能构,成,成一条闭,回,回路，因,为,为x,42,不是拐角,点,点。,X,12,X,22,X,24,X,44,X,42,X,42,若变量组,是一个闭,回,回路，则,这,这个变量,组,组对应矩,阵,阵A中的,列,列向量组,线,线性相关,。,。,证明,矩阵A中,的,的每列只,有,有两个元,素,素为，,其,其余都是,。变量x,ij,对应中的,列,列向量是,5.2,运,运输问题的,表,表上作业法,定理,5.1,第i个分量,第m+j个分量,5.2,运,运输问题的,表,表上作业法,定理,5.1,通过计算闭,回,回路中变量,对,对应中的,列,列向量，得,这表明变量,组,组对应矩阵,中列向量,组,组线性相关,。,。,变量组,对,对,应,应矩阵中,列,列向量组,根据以上结,论,论，给出了,从,从表格上判,断,断运输问题,的,的方法。m+n-1个,变,变量是否为,一,一组基变量,就,就看表中m+n-1个,变,变量是否含,有,有闭回路。,于,于是可从表,格,格上方便的,求,求出运输问,题,题的初始基,本,本可行解来.,5.2,运,运输问题的,表,表上作业法,定理,5.2,线性无关的,充,充要条件是,该,该变量组不,含,含有闭回路,。,。,求解运输问,题,题的表上作,业,业法可按以,下,下步骤进行,。,。,一、编制,初,初始调运方,案,案,方法一,最,最小,元,元素法,令,（1）若a,i,b,j,，则取x,ij,=b,j,而xsj=0(s=1,2,i-1,i+1,m),将b,j,填入(i,j)格内。,这,这时,x,1j,+x,2j,+x,ij,+x,mj,=x,ij,=b,j,例5.1用,最,最小元素法,求,求下列运输,问,问题的初始,调,调运方案,销地,产地,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,产量,a,i,销量,b,j,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,10 20 5 9 10,10 8 25 6,1 15 7 10 4,平衡表,运价表,5.2,运,运输问题的,表,表上作业法,一、编制,初,初始调运方,案,案,求解运输问,题,题的表上作,业,业法的步骤,：,：,销地,产地,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,产量,a,i,销量,b,j,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,10 20 5 9 10,10 8 25 6,1 15 7 10 4,平衡表,运价表,初始基本可,行,行解为,x,12,x,13,x,14,x,22,x,31,x,32,x,35,=1,5,3,4