等差数列的前n项和的最值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2等差数列的前n项和（第二课时）,等差数列的前n项和的函数特性及最大致与最小值,等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,复习回顾,一、常用数列的求和方法：,(3)裂项法：设a,n,是等差数列，公差d0,新课讲授,(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。,.将等差数列前n项和公式,看作是一个关于n的函数，这个函数有什么,特点？,S,n,是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零）,则 S,n,=An,2,+Bn,令,新课讲授,结论1,：若数列a,n,的前n项和为S,n,=pn,2,+qn，,(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列a,n,是等差数列。,a,n,是等差数列,S,n,=pn,2,+qn(p,q为常数,d=2p),当,d,0时,S,n,是常数项为零的二次函数,若C,0，则数列a,n,不是等差数列。,若C=0，则a,n,为等差数列；,结论2,：设数列a,n,的前n项和为 S,n,=An,2,+Bn+C，(A,B,C是常数）,当,d,=0时,S,n,=na,1,不是二次函数,问题与思考,例1 若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有_项。,13,例2 已知数列a,n,中S,n,=2n,2,+3n，求证：a,n,是等差数列.,例1、若等差数列a,n,前4项和是2，前9项和是6，求其前n 项和的公式。,，,解之得：,解：设首项为a,1,，公差为d，则有：,设 S,n,=an,2,+bn，依题意得：S,4,=2,S,9,=6,即,解之得：,另解：,等差数列的前,n,项的最值问题,例1.已知等差数列,a,n,中,a,1,=13且S,3,=S,11,求n取何值时,S,n,取最大值.,解法1,由S,3,=S,11,得,d,=2,当n=7时,S,n,取最大值49.,等差数列的前,n,项的最值问题,例1.已知等差数列,a,n,中,a,1,=13且S,3,=S,11,求n取何值时,S,n,取最大值.,解法2,由S,3,=S,11,得,d,=20,当n=7时,S,n,取最大值49.,则S,n,的图象如图所示,又S,3,=S,11,所以图象的对称轴为,7,n,11,3,S,n,等差数列的前,n,项的最值问题,例1.已知等差数列,a,n,中,a,1,=13且S,3,=S,11,求n取何值时,S,n,取最大值.,解法3,由S,3,=S,11,得,d,=2,当n=7时,S,n,取最大值49.,a,n,=13+(n-1)(-2)=2n+15,由,得,a,7,+,a,8,=0,等差数列的前,n,项的最值问题,例1.已知等差数列,a,n,中,a,1,=13且S,3,=S,11,求n取何值时,S,n,取最大值.,解法4,由S,3,=S,11,得,当n=7时,S,n,取最大值49.,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,11,=0,而,a,4,+,a,11,=,a,5,+,a,10,=,a,6,+,a,9,=,a,7,+,a,8,又,d,=20,a,7,0,a,8,0,解:,由S,3,=S,11,得,d,，S,3,=S,11,，问：这个数列的前几项的和最大？,例2：已知数列a,n,是等差数列，且a,1,=21，公差d=2，求这个数列的前n项和S,n,的最大值。,S,11,最大为121,的前,n,项和为 ,当n为何值时，,最大，,s22最大,数列,的通项公式,an=-8n+48,已知,求：,例,3,设等差数列,求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1,:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2,:利用,a,n,的符号,当,a,1,0,d,0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为S,n,的最大值,其n的值由,a,n,0且,a,n+1,0求得.,当,a,1,0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由,a,n,0且,a,n+1,0求得.,练习:已知数列,a,n,的通项为,a,n,=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为(),A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,当,d,0时,S,n,是常数项为零的二次函数,则 S,n,=An,2,+Bn,令,小结,S,n,是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零）,结论1,：若数列a,n,的前n项和为S,n,=pn,2,+qn，,(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列a,n,是等差数列。,a,n,是等差数列,S,n,=pn,2,+qn(p,q为常数,d=2p),若C,0，则数列a,n,不是等差数列。,若C=0，则a,n,为等差数列；,结论2,：设数列a,n,的前n项和为 S,n,=An,2,+Bn+C，(A,B,C是常数）,小结,结论:3,：等差数列前n项和不一定是关于n的二次函数：,（,1）当d0是，s,n,是项数n的二次函数，且不含常数项；,（2）当d=0是，s,n,=na,1,不是项数n 的二次函数。,反之，关于n的二次函数也不一定是某等差数列的和。,若C,0，则数列a,n,不是等差数列。,若C=0，则a,n,为等差数列；,S,n,=An,2,+Bn+C，,谢谢！,