信号分析与处理-傅里叶变换性质

三、傅立叶变换的基本性质,线性,奇偶性,对偶性,尺度变换特性,时移特性,频移特性,微分特性,积分特性,帕斯瓦尔定理,卷积定理,傅里叶变换使任一信号可以有两种描述形式：时域描述和频域描述。,为了进一步了解信号的这两种描述形式之间的相互关系，如:,信号的时域特性在频域中如何对应,，,在频域中的一些运算在时域中会引起什么效应,，等等，,必须讨论傅立叶变换的一些重要性质。,另外，很多性质对简化傅立叶变换或反变换的求取也很有用,1、线性（叠加性）,若:,则:,例：求x(t),的傅立叶变换,已知矩形脉冲信号的傅立叶变换为：,利用线性性质可得：,2、奇偶性,无论x(t)是实函数还是复函数,，都有下面结论：,若:,则:,（2-85）的含义为：,（2-85）,时域共轭,对应,频域共轭并且反摺,证明：由傅立叶变换定义式,取共轭,以,代替,对于x(t)是实函数的特殊情况，,则有下面结论：,由于：,再根据（2-85）,可以得：,等价为：,（2-86）,（2-86）的含义为：,实函数的傅立叶变换具有共轭对称性,由傅里叶变换的定义，有,显然：频谱函数的实部和虚部分别为,：,（2-87）,频谱函数的幅度和相位分别为,（2-88）,下面讨论，,当 为：1）实函数；2）实偶函数；3）实奇函数,的情况下，的奇偶、虚实特性,1）当 为,实,函数的情况下,由：,可知：,可知：,由：,即：当 为实函数，其频谱函数的,实部为偶,函数,其频谱函数的,虚部为奇,函数,即：当 为实函数，其频谱函数的,幅度为偶,函数,其频谱函数的,相位为奇,函数,2）当 为,实偶,函数的情况下,由：,可知：,偶,奇,即：当 为,实偶,函数，其频谱函数为,实函数,加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：,当 为,实偶,函数，其频谱函数为,实偶函数,x(t),0,t,0,实偶函数,实偶函数,例：,3）当 为,实奇,函数的情况下,由：,可知：,奇,偶,即：当 为,实奇,函数，其频谱函数为,虚函数,加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：,当 为,实奇,函数，其频谱函数为,虚奇函数,x(t),0,例：,实奇函数,虚奇函数,3、对偶性,若 则,证明：由傅立叶反变换式,自变量t变成-t,将t和,互换,含义：对 进行傅里叶变换，所得频谱函数为,例：,例2-10 求取样函数 的傅立叶变换,解：由式(2-62)可知，宽度为,，幅度为E 的矩形脉冲信号 的傅立叶变换为,若取 ,，则,由对偶性，得：,1/2,0,0,0,0,4、尺度变换特性,若,则,证明略，（p48）,含义：,在时域上将信号 压缩到 倍，则在频域上其频谱扩展 倍，同时幅度相应地减小到 倍。,也就是说，信号波形在时域的压缩意味着在频域中信号频带的展宽；反之，信号波形在时域的扩展，意味着频域中信号频带的压缩,时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,x,(t/2),压缩,扩展,图2-50表示了单位矩形脉冲信号尺度变换()前后的时域波形及其频谱。,2-50,5、时移特性,若:,则:,信号在时域中沿时间轴右移（或左移）,则在频域中，信号的幅度频谱不变，而相位频谱产生 (或 )的变化。,(2-92),式（2-92）的含义为：,例2-11 求图2-46(a)表示的信号的频谱。,解:,(a),可看成是(b)和(c)所示的信号的组合,(a)(b)(c),的频谱函数分别为：,由线性和时移特性，有:,例：求三脉冲信号的频谱,求如下三脉冲信号的频谱函数,为P36页的标准矩形脉冲信号,解：,6、频移特性,若:,则:,证明：由傅立叶变换定义,同理有,(2-94),(2-94)的含义为：,在时域将信号乘以因子 ，对应于在频域将原信号的频谱右移 ，即往高频段平移,在时域将信号乘以因子 ，对应于在频域将原信号的频谱左移 ，即往低频段平移,频谱搬移,这种频谱搬移，就是通信工程中常用的幅度调制技术的理论本质,幅度调制技术简称调幅技术，即：将,被调制信号,乘以正弦信号 (常称,载波信号,)，得到,调制信号：,其频谱函数为：,原频谱 一分为二，各向左、右移动 ，在移动过程中幅度谱的形式保持不变。,举例说明其体现在频谱图上的效果,为什么要对信号进行调制？,7、微分特性,若:,则:,证明：由傅立叶反变换定义,两边对t求导，有：,以此类推，有：,所以有：,例：求三角脉冲的频谱,方法一：代入定义计算,方法二：利用微分性质计算,微分,根据微分性质:,所以有:,8、积分特性,若:,则:,如果 ，则有:,证明:p53 自己阅读,例：求斜平信号的频谱,可以看成矩形脉冲 的积分,积分,由标准矩形脉冲信号的频谱和时移性质，可得 的频谱为,由积分性质，可得 的频谱为,又因为：,所以得：,9、帕斯瓦尔定理,若:,则:,帕斯瓦尔公式表明，对 在整个频率范围内积分，可以得到信号的总能量。,式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式,(2-100),因此，反映了信号的能量相对于频率的分布，称为能量密度谱，简称,能谱,，即：,10、卷积定理,（1）时域卷积定理,若:,则:,时域卷积定理表明，两个信号在时域的卷积积分，对应了频域中该两信号频谱的乘积，由此可以把时域的卷积运算转换为频域的乘法运算，简化了运算过程,例：求两个矩形脉冲卷积后的频谱,矩形脉冲的表达式为,它们所对应的频谱为,由时域卷积定理有：,两个矩形脉冲卷积后的结果为：,图2-55说明了该例中，各种时域曲线、频谱曲线的对应关系：,（2）频域卷积定理,若:,则:,上式表明:,两信号在时域的相乘对应于在频域中它们频谱的卷积,利用频域卷积定理也可以很容易导出：,以及:,和前面提到的频移特性一致,