非线性系统分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章 非线性控制系统,理想的线性系统在实际中并不存在,小范围内线性化的方法,相平面法,描述函数法,8-1,引言,一 常见非线性特性对系统运动的影响,只要系统中包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，就称其为非线性系统。,非线性特性可分为单值函数与多值函数两类。,常见非线性特性有,:,1,：死区,死区对系统最直接的影响是造成稳态误差,摩擦死区特性可能造成运动系统的低速不均匀,死区的存在会造成系统等效开环增益的下降,死区特性,减弱振荡性，提高稳定性,死区能滤除在输入端作小幅度振荡的干扰信号，提高系统的抗干扰能力。,处于系统前向通路最前面的测量元件，其死区所造成的影响最大，而放大元件和执行元件死区的不良影响可以通过提高该元件前级的传递系数来减小。,大信号作用之下的等效增益降低，使系统超调量下降，振荡性减弱，稳态误差增大。,2,：饱和,处于深度饱和的控制器对误差信号的变化失去反应，从而使系统丧失闭环控制作用。,利用饱和特性作信号限幅，保证系统安全合理地工作。,自持振荡现象,若线性系统为振荡发散，当加入饱和限制后，系统就会出现自持振荡的现象。,3,：间隙 又称回环,增大了系统的稳态误差，降低了控制精度，这相当于死区的影响,使系统频率响应的相角迟后增大，从而使系统过渡过程的振荡加剧，甚至使系统变为不稳定,2,4,：继电特性 其特性中包含了死区、回环及饱和特性。当,h=0,时，称为理想继电特性。,理想继电特性串入系统，在小偏差时开环增益大，系统的运动一般呈发散性质；而在大偏差时开环增益很小，系统具有收敛性质。故理想继电控制系统最终多半处于自持振荡工作状态。,继电特性能够使被控制的执行装置在最大输入信号下工作，可以充分发挥其调节能力，故有可能利用继电特性实现快速跟踪。,至于带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，而对其它动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。,二,.,非线性系统特征,1,：稳定性,对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念，必须针对系统某一具体的运动状态，才能讨论其是否稳定的问题。,例如,设,t=0,时，系统的初始条件为,x,0,，,可以求得上述微分方程的解为：,所以说，非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与运动的初始条件、输入信号有直接关系。,可见，非线性系统可能存在多个平衡状态，其中某些平衡状态稳定，另一些平衡状态不稳定的。初始条件不同，系统的运动可能趋于不同的平衡状态，运动的稳定性就不同。,2,：时间响应,线性系统,非线性系统,3,：自持振荡,4,：对正弦信号的响应,1,4,3,2,5,6,线性系统当输入某一恒定幅值和不同频率,的正弦信号时，稳态输出的幅值,A,c,是频率,的单值连续函数。对于非线性系统输出的幅值,A,c,与,的关系可能会发生跳跃谐振和多值响应，,5,：非线性系统的畸变现象,三,.,非线性系统的分析方法,目前研究非线性系统常用的工程近似方法有：,1,：相平面法,2,：描述函数法,3,：计算机求解法,8-2,相平面法基础,一,.,相平面法的概念,设一个二阶系统可以用下列微分方程描述：,考虑到：,可改写为：,如果能解出该方程，即求出,和,x,的关系，则可以运用,=,dx/dt,，把,x,和,t,的关系计算出来。,以,x,为横坐标、 为纵坐标所组成的直角坐标平面称为,相平面,(,状态平面,),。,在某一时刻,t,，,x(t),和 对应于相平面上的一个点，称为,相点,(,状态点,),它代表了系统在该时刻的一个状态。,通常系统在初始时刻,t,0,的初始状态用相点 表示,随着时间的增长，系统的状态不断地变化，沿着时间增加的方向，将描述这些状态的许多相点连接起来，在相平面上就形成了一条轨迹曲线，这种反映系统状态变化的轨迹曲线叫,相轨迹,相轨迹的箭头表示时间增加时，相点的运动方向。从图中可以看出， 在上半平面,相轨迹总是沿着,x,增加的方向运动,(,向右运动,),而在下半平面,相轨迹总是沿着,x,减小的方向运动,(,向左运动,),。,对于任一初始条件，微分方程有唯一的解与之对应。因此，对某一个微分方程，在相平面上布满了与不同初始条件相对应的一族相轨迹，由这样一族相轨迹所组成的图象叫,相平面图,，简称相图。,二,.,相轨迹的绘制方法,1,：解析法,(1),消去参变量,t,。,(2),直接积分,则通过积分，也可直接得到 并绘制相轨迹。,若原方程可以分解为：,例,8-1,设描述系统运动的微分方程为：,初始条件为,x(0)=x,0,，,试绘制系统运动的相轨迹。,解,：,先用第一种解析法求解。根据初始条件可以求得系统运动微分方程的解为：,再采用第二种解析法求解。系统的微分方程改写为：,两边积分，得：,2,：图解法,(1),等倾线法,若令：,则有：,令,为某一常数,上式即为一条等倾线方程。,等倾线,等倾线作图法,.,例,8-2,设描述系统运动的微分方程为：,初始条件为,x(0)=x,0,，,试用等倾线法绘制系统运动的相轨迹。,解：,令：,上式即为等倾线方程。显然，等倾线为通过相平面坐标原点的直线，其斜率为,-1/,，而,是相轨迹通过等倾线时切线的斜率。,注意事项：,第一，横轴,(x,轴,),与纵轴,(,dx/dt,轴,),所选用的比例尺应当一致，这样,值才与相轨迹切线的几何斜率相同。,第二，在相平面的上半平面，相轨迹总是沿着,x,增加的方向运动,(,向右运动,),；而在下半平面,相轨迹总是沿着,x,减小的方向运动,(,向左运动,),。,第三，除平衡点,(,即,x,的各阶导数为零的点,),外，通过,x,轴时相轨迹的斜率为,所以相轨迹是与,x,轴垂直的。,第四，等倾线的条数应取得适当。另外，采用平均斜率的方法作相轨迹，可以提高作图的精确度。,(2),法,其中 是单值连续的函数,值取决于变量 和,x,若 和,x,的变化很小, ,可以看作是一个常量，例如在相平面的点 附近，,的值就可以取为：,积分后,可得：,如果把纵坐标取为 横坐标仍为,x,，,则在这样的相平面内，上式代表一个圆心在,Q(,1,0),半径为,|P,1,Q|,的圆。,用,法绘制相轨迹的具体方法是,.,改进方法,.,三,.,由相平面图求时间解,1,：增量法 对于小的时间增量,t,和位移增量,x,，,其平均速度为,x/t,，若,t,足够小，可以令：,相轨迹从,P,0,点到,P,1,点，横坐标,x,的变化量为,x,01,，,纵坐标的平均值为：,因此，从,P,0,点到,P,1,点所需时间的近似值为：,P,2,P,3,P,2,P,3,t,23,t,12,P,0,P,1,P,0,P,1,t,01,同理可得从,P,1,点到,P,2,点，,P,2,点到,P,3,点，,所需时间的近似值分别为：,避免出现 的平均值为零的情况,2,：积分法,根据,从坐标为,x,0,的点移到坐标为,x,1,的点所需时间为：,P,0,P,1,P,0,P,1,3,：圆弧法 这种方法的基本思想是：用圆心位于,x,轴上的一系列小圆弧来近似所研究的相轨迹段，则运动所需时间等于沿这些小圆弧运动所需时间之和。,相轨迹,AD,段，可以用,x,轴上的,P,、,Q,、,R,点为圆心，以,|PA|,、,|QB|,、,|RC|,为半径的小圆弧,AB,、,BC,、,CD,来近似。经过每段小圆弧所需的时间，可以很方便地计算出来。,以,t,AB,为例，在,A,点有：,8.3,二阶系统的相平面分析法,一,.,线性系统的相轨迹,以二阶系统的自由运动为例，介绍线性系统的相轨迹。,设系统的微分方程：,1,：无阻尼运动,相轨迹为一个椭圆,2,：欠阻尼运动,对,x(t),求导，消去时间,t,，,整理后得：,它是一条通过初始点 绕在相平面坐标原点上的对数螺旋线。,给定不同的初始点，可以画出一族对数螺旋线。,此时，系统在初始条件下的自由运动为衰减振荡曲线。,3,：过阻尼运动,当初始点满足,有,A,2,=0,，,可得相轨迹方程为：,它表示了相平面上一条特殊的相轨迹。,同理，当初始点满足,有,A,1,=0,，相轨迹方程为,：,当,A,1,和,A,2,不为零时，对,x(t),求导，消去时间,t,，,整理后得：,4,：负阻尼运动 负阻尼运动时,0,。,其中,-10,时特征方程式根为一对具有正实部的共轭复数根，相轨迹是一族对数螺旋线。,0,。,这时特征方程式根为一正、一负两个实根，微分方程解的形式与过阻尼运动时的形式相同,-q,1,0,，,-q,2,e,0,),和负饱和区,(ee,0,),和负饱和区,(ee,0,的饱和区，相轨迹微分方程和等倾线微分方程分别为：,在,ee,0,的区域， 为系统的一条相轨迹，也就是说若初始点满足 则相点将沿着 移动。,0,开关线,在,ee,0,的区域，相轨迹均渐近于 的直线,类似地，在,e-e,0,的区域,相轨迹均渐近于 的直线。,0,开关线,0,0,开关线,(2) r(t)=V,0,t,变为：,相平面的开关线为,e=,e,0,由于微分方程的特征根为一对共轭复数，所以在线性区,|e|e,0,的相轨迹应为对数螺旋线。,系统的微分方程组,当,r(t)=V,0,t,时,由于,在线性区,|e|e,0,相轨迹方程为：,若令,可得奇点或平衡点为,0,开关线,该奇点为稳定焦点，奇点的位置与输入信号的大小有关。当,V,0,Ke,0,时，奇点位于线性区,|e|e,0,的范围之外，相轨迹无法趋向或离开该奇点，这样的奇点称为,虚奇点,。,实奇点,虚奇点,在,ee,0,和,ee,0,时，有一条特殊的相轨迹,不存在奇点。,0,开关线,相轨迹均渐近于,e-e,0,时，相轨迹均渐近于,0,开关线,实奇点,(0.1,0),A,B,当,V,0,=0.4KM,0,时,相轨迹最终趋于 水平直线，说明系统的稳态误差,e(),将趋于无穷大，系统无法跟踪快速变化的斜坡信号。,A,B,(0.3,0),虚奇点,V,0,=0.8=KM,0,时,在,|e|e,0,的区域内，相轨迹的奇点,(0.2,0),是稳定的焦点，位于开关线上。,非线性系统与线性系统有着完全不同的运动特性，非线性系统的运动形式及稳态误差既和输入信号的大小有关，也和初始条件有关。,(0.2,0),A,B,实奇点,ee,0,时，相轨迹的微分方程 变为,说明相轨迹是相互平行的直线，其斜率为,-1/T,相轨迹将终止于横轴上。终止的位置决定了稳态误差的大小，与初始条件有关。,2,：继电型非线性控制系统,含有继电型非线性元件的系统称为继电型系统。继电型非线性的一般形式如图,(a),所示，称为具有滞环的三位置继电特性；,若,h=0,，,即为理想继电特性，如图,(d),所示。,若,m=1,，,即为具有死区的三位置继电特性，如图,(b),所示；,若,m=-1,，,即为具有滞环的两位置继电特性，如图,(c),所示；,下面具体分析系统自由运动的相平面图及其运动特点，取,c,和 为相坐标。,(1),具有死区的三位置继电特性,(m=1),线性部分的微分方程为：,继电特性,开关线为,c=,h,，,两条开关线将相平面划分为三个线性区域。,在,ch,区域，相轨迹方程为：,类似于具有饱和特性的非线性控制系统时的讨论，相平面在该区域无奇点，相轨迹均渐近于 的直线。,开关线,线性部分的微分方程为：,开关线为,c=,h,，,两条开关线将相平面划分为三个线性区域。,在,ch,区域，相轨迹方程为：,在,ch,区域，相轨迹方程为：,在,ch,区域，相轨迹方程为：,在,c-h,区域，相轨迹方程为：,该区域无奇点，相轨迹均渐近于 的直线。,开关线,在,|c|h,区域，相轨迹方程为：,类似于具有饱和特性的非线性控制系统时的讨论，相平面在该区域无奇点，相轨迹均渐近于 的直线。,在,c-h,区域，相轨迹方程为：,该区域无奇点，相轨迹均渐近于 的直线。,在,|c|-h,时，相轨迹方程为 的相平面图。,而继电特性的输入为,下图无法表现。,继电特性,同样若初始时刻继电特性输出为,M,，,由于此时相轨迹方程为,为此可以画出,ch,时，相轨迹方程为 的相平面图。,而继电特性的输入为,C,1,C,2,C,3,C,6,画在一张图上时，得到系统完整的相平面图,为多页相平面图，图中在,-hch,部分，相轨迹有重叠，可根据具体情况，决定采用何种形式的相轨迹,图中,C,1,点满足,C,4,C,5,(3),既有死区又有滞环的继电特性,(-1m1),分段线性微分方程为：,开关线方程为 和,与,m=1,时的相平面图相比较,A,开关线,下图绘出了随着,m,的减小，相轨迹变化的示意图。从图中可以看出，系统的振荡趋势将逐渐加大，当,m,减小到,0m1,时，相平面图将由,(a),变为,(b),，,这时出现了半稳定的极限环。当,m,进一步减小至,-1m0,时，系统的相平面图变为,(c),，,这时出现了稳定的极限环和一条由两条相轨迹围成的区域，如图中阴影线所示。这时，若初始状态落在阴影线区域内，则系统的自由运动将趋于平衡状态，否则将产生自持振荡。,系统产生自持振荡的充分必要条件是：,(4),理想继电特性,(h=0),当继电特性为理想继电特性时,可以写出继电型控制系统的分段线性微分方程为：,开关线方程为,c=0,。,五,.,速度反馈对系统自由运动的影响,这时系统的分段线性微分方程为：,图中,T,时，系统中会发生滑动现象。为了说明滑动状态时相轨迹的特点，需要研究开关线附近相轨迹的走向。对于本例，由于两条开关线附近相轨迹的情况对称，这里只讨论开关线 附近的情况。,定义一个函数,开关线,六,.,继电系统的滑动现象,若速度反馈信号过强，使得,T,时，系统中会发生滑动现象。为了说明滑动状态时相轨迹的特点，需要研究开关线附近相轨迹的走向。对于本例，由于两条开关线附近相轨迹的情况对称，这里只讨论开关线 附近的情况。,定义一个函数,开关线,增加方向,从图中可以看出，在开关线的下方，,0,，,说明此处的相轨迹将走向开关线，若,d/dt,0,，在某相点处，若,d/dt,0,，,说明此处的相轨迹将离开开关线，若,d/dt,T,，,故当 时，有,d/dt,0,，,说明相轨迹将离开开关线。,两侧相轨迹的走向,在开关线下方，相轨迹方程,有：,在 的区域，有,d/dt,0,，说明相轨迹将走向开关线。,在开关线 的区域，由于开关线两侧的相轨迹均走向开关线。因此，一旦相轨迹进入开关线，相点只能沿着开关线滑向,(-h,0),点；,同样，在开关线,的区域，由于开关线两侧的相轨迹均走向开关线，因此，一旦相轨迹进入开关线，相点只能沿着开关线滑向,(h,0),点。,七,.,利用非线性改善系统的性能,1,：粗、精调控制系统,对于线性系统，单纯调节开环放大系数，难以得到理想的响应曲线。采用非线性环节，在响应的初始阶段，误差信号较大，此时开环放大系数大，利于系统的快速响应；当输出信号接近希望值时，误差信号较小，此时开环放大系数小，有利于减小超调量，进而减小调节时间，得到较为理想的响应曲线。,下面用相平面法来分析系统的单位阶跃响应，假设系统参数之间满足,系统的分段线性方程为：,单位阶跃信号输入时，,上述微分方程可写为：,两条开关线为,e=,e,0,系统的分段线性方程为：,在 区域，平衡点在坐标原点，为虚奇点，由于微分方程的特征根为共轭复数，故相轨迹为对数螺旋线,在 区域，平衡点在坐标原点，为实奇点，由于微分方程的特征根为两个负数，故相轨迹为抛物线。,2,：滑模变结构控制系统,变结构控制规律为：,u(t)=,r+kc,=,kc,，,k,可取为,2,或,-3,。,控制系统的微分方程为：,当,k=2,时，可得到一个线性二阶系统，其微分方程为：,特征根为,-1,和,+3,，平衡点在坐标原点，为一鞍点,2,-3,控制系统的微分方程为：,当,k=-3,时，可得到另一个线性二阶系统，其微分方程为：,特征根为,1,j,，,平衡点在坐标原点，为一不稳定的焦点,2,-3,现假设开关切换按下式进行：,其中开关线为：,可以看出，系统的相轨迹在开关线上存在滑动，此时的系统称为滑模变结构系统。相轨迹一旦进入开关线，系统的动态性能即相当于一个一阶系统,(,此时微分方程为,=0),。,由于系统的参数的变化不影响开关线的选择，故系统具有较高的鲁棒性。另外相轨迹滑动时，系统的性能由开关线决定，所以合理地选择开关线可使系统具有良好的性能。,3,：控制信号受限制的时间最优控制,若系统的微分方程式为：,式中，,u,是控制信号，其幅值受到限制，即有：,可以证明，系统的最优控制规律是继电型的控制，也就是说，控制信号的大小始终是最大值，而信号的符号交替地取正或负，最多有,n-1,次转换。,时间最优控制的提法是：在控制信号受到限制的条件下，找出系统的控制规律，使系统的输出量以最短的时间从原值变到所要求的给定值。,当输入是阶跃信号时,其解为：,时间,最优,转换元件,最优控制规律的函数,f(e),：,8-4,描述函数,一,.,描述函数的一般概念,考虑图示非线性环节,N,，,其输入为,x(t),，,输出为,y(t),。,若输入信号为正弦函数，即,：,N,一般情况下，非线性环节的稳态输出,y(t),是与输入信号同频率的非正弦周期函数，且此周期函数可以展成傅里叶级数：,如果非线性特性是奇对称的,(,即非线性特性关于原点对称,如死区特性、饱和特性等,),，则,A,0,=0,，,说明输出信号中不含有直流分量，此时若只考虑输出信号中的一次谐波分量，而把高次谐波分量忽略，即近似认为：,非线性特性的描述函数就是当输入是正弦信号,Xsint,时，其稳态输出的一次谐波分量对输入正弦量的复数比，其数学表达式如下：,若非线性的特性是单值奇对称的，那么,y(t),是奇函数，则,A,1,=0,，,1,=0,，,N(X)=B,1,/ X,，,即描述函数,N(X),是输入信号幅值,X,的实函数。,二,.,典型非线性特性的描述函数,1,：死区特性的描述函数,在信号,x(t)=,Xsint,作用下输出,y(t),的数学表达式为：,式中,为死区范围，,K,为线性部分的斜率。由于死区特性是单值奇对称的，所以,A,1,=0,，,1,=0,。,B,1,可按下式计算：,2,2,式中,为死区范围，,K,为线性部分的斜率。由于死区特性是单值奇对称的，所以,A,1,=0,，,1,=0,。,B,1,可按下式计算：,于是可得死区特性的描述函数为：,由于饱和特性是单值奇对称的，所以,A,1,=0,，,1,=0,。,B,1,可按下式计算：,2,2,2,：饱和特性的描述函数,饱和特性在正弦信号,x(t,)=,Xsint,作用下输出,y(t,),的数学表达式为：,饱和特性的描述函数为：,3,：间隙特性的描述函数,间隙特性在正弦信号,x(t)=,Xsint,作用输出,y(t),的数学表达式为：,2,2,K,由于间隙特性为多值函数，所以,A,1,、,B,1,都需要计算：,间隙特性在正弦信号,x(t)=,Xsint,作用输出,y(t),的数学表达式为：,由于间隙特性为多值函数，所以,A,1,、,B,1,都需要计算：,于是可得间隙特性的描述函数为：,4,：继电特性的描述函数,继电特性在正弦信号,x(t)=,Xsint,作用下输出,y(t),的数学表达式为：,2,于是可得继电特性的描述函数为：,令,m=1,得三位置理想继电特性的描述函数：,令,m=-1,得具有滞环的两位置继电特性的描述函数：,下表列出了一些常见非线性特性的描述函数，以供查用。,令,h=0,得两位置理想继电特性的描述函数：,于是可得继电特性的描述函数为：,5,：组合非线性特性的描述函数,(1),：非线性特性的并联计算,N,1,(X),N,2,(X),非线性环节并联后总输出为两个非线性环节的输出之和，即：,若将,y(t),展开成傅里叶级数，则,y(t),的一次谐波分量应为,y,1,(t),和,y,2,(t),的一次谐波分量之和，按照描述函数的定义，总的描述函数应为：,(2),：非线性特性的串联计算,当两个非线性环节串联时，其总的描述函数不等于两个非线性环节描述函数的乘积，而是需要通过折算，先求出这两个非线性环节的等效非线性特性，然后根据等效的非线性特性求总的描述函数。一般说来，两个非线性环节串联的前后次序不同，其等效的非线性特性不同，总的描述函数也不一样，这是与线性环节串联的区别。,8-5,用描述函数分析非线性系统,一,.,系统的典型结构及基本条件,设非线性系统经过等效变换，可表示为线性部分,G,与非线性部分,N,相串联的典型结构，如图所示。,对非线性系统进行分析，首先考虑和关心的是稳定性和自持振荡。,N,G,描述函数法对系统的基本假设是：,1,：非线性系统可归纳为图示的典型结构。,2,：非线性环节在正弦信号作用下的输出中，高次谐波幅值小于一次谐波幅值，且非线性环节的输入输出特性是奇对称的，以保证非线性环节的输出中不包含直流分量。,3,：系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。,二,.,非线性系统的稳定性分析,假设非线性部分和线性部分满足描述函数法对系统的要求，则非线性部分的特性可用描述函数表示，线性部分的特性可用频率特性表示，于是非线性系统可看作一个等效的线性系统：,闭环系统的特征方程为：,若假设非线性环节的输入信号为正弦信号,Xsint,，,其幅值,X,和频率,满足上式，由于,在系统的输出端出现的正弦信号为,-,Xsint,，,系统中出现了等幅振荡，系统产生等幅振荡的条件：,N,G,非线性系统中的负倒描述函数相当于线性系统中的,-1,。在复平面上，非线性系统中的负倒描述函数曲线相当于线性系统中的,(-1,j0),点。据此，可以把线性系统中的乃氏判判据推广到非线性系统中去。,若,G(S),的极点均在左半,S,平面，则推广的乃氏判据可叙述如下：,若,G(j),曲线不包围 曲线，则非线性系统是稳定的；,若,G(j),曲线包围了 曲线，则非线性系统是不稳定的。,例,8-4,非线性控制系统如图所示，试分析系统的稳定性,解,非线性环节的描述函数为,负倒描述函数曲线的起点为（,0,，,0,），终点为（,-2,，,0,），,线性环节的传递函数为,频率特性为,令,得,曲线包围了,曲线，非线性系统是不稳定的。,负倒描述函数曲线的起点为（,0,，,0,），终点为（,-2,，,0,），,线性环节的传递函数为,三,.,非线性系统的自持振荡分析,在非线性系统中，若,G(j),曲线与非线性环节的负倒描述函数 曲线相交，则交点处相当于线性系统中,G(j),曲线通过,(-1,j0),点的情况,说明非线性系统中出现了等幅振荡。,A,B,C,D,系统中的自持振荡对应于稳定的周期运动。图中只是确定了系统中可能的周期运动和它的参数，要判断系统中是否存在自持振荡还必须研究周期运动的稳定性。,例,8-5,非线性控制系统如图所示，已知,M=1.7,h=0.7,，,试判断系统是否存在自持振荡，若有自持振荡，求出自持振荡的振幅和频率。,解：,死区继电特性的描述函数为：,由于,N(X),中包含两个参数,M,和,h,，,为使作图简单起见，常将,N(X),表示成相对描述函数的形式，即：,非线性系统的闭环特征方程式,1+N(X)G(j)=0,可以改写为：,下一步应在复平面上分别绘制,K,0,G(j),曲线和 曲线。给出,X,、,一系列数值，可算出,K,0,G(j),及 值如下：,(1/,秒,),120 150 180 200 250 300 400,|,G(j,)|,2.35 1.59 1.13 0.92 0.58 0.39 0.20,K,0,|G(j)|,5.7 3.9 2.75 2.23 1.40 0.94 0.48,/,G(j,),-155 -165.5 -173.7 -180 -189 -196 -209,由图可知这两条曲线共有两个交点。从,K,0,G(j),曲线上找到交点处,=200,。,从,-1/N,0,(X),曲线上找到交点处,h/X,的值分别为,0.92,及,0.38,，振幅,X,则为,0.757,及,1.84,。这说明系统中存在着两个振幅不同的周期运动，但振荡频率相同。,由稳定性分析可知，,0.757sin200t,是不稳定的周期运动；而,1.84sin200t,是稳定的周期运动。系统中存在一个自持振荡，振幅为,1.84,，频率为,200,。当系统的扰动较小时，系统不呈现自持振荡状态，而呈现趋于平衡状态,(,不灵敏区,),的动态过程，当幅值扰动大于,0.757,时，系统最终表现出来的是自持振荡状态。,30,0,25,0,20,0,40,0,0.2,0.4,0.6,0.95,0.707,0.8,四,.,非线性系统结构图的简化,在讨论自持振荡及稳定性时，只研究由系统内部造成的周期运动，并不考虑外作用。因此，在将系统结构图进行归化变换时，可以认为所有外作用均为零，只考虑系统的闭环回路。,在结构归化时，若系统中出现两个非线性环节并联或串联结构，可以将两个非线性环节合并为一个等效环节进行处理。,若非线性系统含有一个非线性环节和多个线性环节，此时可以按结构图等效变换法则对线性环节进行合并，将系统归化为典型结构形式。,G,1,G,2,N,G,1,+ G,2,N,G,1,N,G,2,G,1,G,2,N,N,