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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,含参量反常积分,本节研究形如,的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积,性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情,况可类似处理。,设 是定义在无界区域 上,若对每一个固定的,反常积分,都收敛,则它的值是 在区间 上取值的函数,表为,称为定义在 上的含参量 的无穷限反常积分,或,简称为含参量反常积分,.,对于含参量反常积分 和函数,则称含参量反常积分 在 上一致收敛于,.,一致收敛的柯西准则,:,含参量反常积分 在 上一致收敛的充要,一致收敛的充要条件,;,含参量反常积分 在 上一致收敛的充要,条件是,:,对任一趋于 的递增数列,(,其中,),函数,项级数 在 一致收敛,.,魏尔斯特拉斯,M,判别法,:,设有函数,使得,魏尔斯特拉斯（,Weierstrass,）判别法,若,一致收敛。,证明,因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西,准则，有,且 收敛，则 关于,从而,所以 关于,一致收敛。,魏尔斯特拉斯（,Weierstrass,）判别法,若,一致收敛。,证明,因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西,准则，有,且 收敛，则 关于,从而,所以 关于,一致收敛。,例,1,在 内一致收敛,解,因为,而积分 收敛，,所以 在 内一致收敛,狄利克雷判别法,;,阿贝耳判别法,:,二、一致收敛积分的性质,1.,连续性定理,因为 在 内一致收敛，所以,证明,因此，当 时，,设 在 上连续，,关于 在 上一致收敛，则一元函数,在 上连续。,又 在 上连续，所以,作为 的函数在 连续，于是,从而，当 时，有,定理证毕。,2.,积分顺序交换定理,设 在 上连续，关于,在 上一致收敛，则 在,可积，并且,3.,积分号下求导的定理,设 在 上连续，,收敛，关于 在 上一致收敛，则,在 可导，且,证明,因为 在 连续，由连续性定理,在 连续，,沿区间 积分 ，由积分顺序交,换定理，得到,在上式两端对 求导，得,定理证毕。,连续性,即,:,可微性,可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算,可以交换,.,即,可积性,含参量反常积分 在 上一致收敛,.,证明反常积分 在 上一致收敛,.,证明含参量反常积分,在 上一致收敛,.,在 上一致收敛,.,证明含参量反常积分,在 上一致收敛,.,含参量反常积分,在 上一致收敛,.,例,4,证明,证,（,1,）用分段处理的方法,.,因为,例,4,计算积分,解,例,5,利用积分号下求导求积分,解,因为,因为,故,由数学归纳法易证,于是,例,6,计算积分,解,令,在第二项积分中令,得,故,(2),含参量反常积分一致收敛的定义,;,(1),含参量反常积分的定义,;,(3),含参量反常积分一致收敛的判别,;,一致收敛的柯西准则,:,一致收敛的充要条件,;,魏尔斯特拉斯,M,判别法,;,阿贝耳判别法,;,狄利克雷判别法,;,(4),含参量反常积分的性质,;,(i),连续性,;,(ii),可微性,;,(iii),可积性,;,
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