齐次线性方程组解的结构

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.2,齐次线性方程组解的结构,一,.,齐次线性方程组解的结构,湘潭大学数学学院 岳慧,2,1.,解向量,齐次线性方程组,若,为方程 的解，则,称为方程组的解向量,.,湘潭大学数学学院 岳慧,3,（,1,）若 为 的解，则,也是 的解,.,也是 的解,（,2,）若 为 的解，,k,为实数，则,推广：,都是方程组的解,齐次线性方程组的解的线性组合,湘潭大学数学学院 岳慧,4,2.,基础解系,当,时，有无穷解,其解向量为,n,维向量,.,故这无穷个解必存在一个极大线性无关组,定义,1.,齐次线性方程组解的集合的一个极大线性,无关组，称为该方程组的一个,基础解系,.,即方程组的通解就是,湘潭大学数学学院 岳慧,5,定理,4.6.2.,当,r,(,A,),n,时，齐次线性方程组的基础解系含有,n,-,r,个解向量,.,例,求解齐次线性方程组,(1),对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形,解,(2),由标准阶梯形得到方程组为,(3),由此得到方程组的解：,(4),写成向量形式为,:,其中,任意取值。,故原方程组的通解为,例,求解线性齐次方程组,解,初等行变换,故方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量。,由于,得到方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,其中 为任意常数。,例,1,求下面齐次线性方程组的一个,基础解系,。,故原方程组的通解为,例,2,求下面齐次线性方程组的一个,基础解系,。,14,齐次,线性方程组求全部解的图示：,系数矩阵,初等行变换,阶梯形矩阵,非零行数,=,未知量个数？,是,方程组有唯一零解,否,定自由,未知量,初等行,变换,简化,阶梯形矩阵,方程组有无穷多解,可写出一般解,基础解系,自由未知,量适当取值,写出全部解,线性组合,习题,4.6 3(2),