概率分布科学学位

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,宋曼殳,首都医科大学,公共卫生学院,流行病与卫生统计学系,医学统计学,概率分布,概率分布,（probability distribution）,概率分布,：,描述随机变量值,x,i,及这些值对应概率,P,(,X,=,x,i,),的表格、公式或图形,连续型,随机变量概率分布,正态分布,离散型,随机变量概率分布,二项分布,Poisson分布,随机变量及其概率分布概述,连续型,随机变量,（continous random variable,）数据间无缝隙，其取值充满整个区间，无法一一列举每一可能值,例如,:,身高、体重、血清胆固醇含量,离散型,随机变量,（,discrete random variable,）,数据间有缝隙，其取值可以列举,例如：抛硬币,10次，正面的可能取值x为0、1、2、,3、4、5、6、7、8、9、10,一、正态分布,正态分布概念、特征,正态曲线下的面积分布规律,标准正态分布,正态分布的应用,估计频数分布,制定医学参考值范围,质量控制,统计方法的理论基础,概率分布,正态分布的概念和特性,正态分布及其应用,图,3-1,临产母亲体重频率密度图,图,3-2,概率密度曲线示意图,频率密度直方图就近似地反映了一个变量的分布,当样本量,n,越来越大，而组距越来越小时，就得到该连续变量所在总体的概率分布。,可以设想，如果观察例数逐渐增多，组段数也不断增多，就会形成一条光滑曲线,图,(3),，称为,正态分布曲线,。,正态分布的概念和特性,这条呈中间高、两边低、左右基本对称的“钟形”曲线数学上称为,正态分布曲线,由于纵坐标相当于概率密度，故叫做,正态分布的概率密度曲线,正态分布及其应用,图,3-2,概率密度曲线示意图,正态分布曲线略呈钟形，中间高，两头低，以均数,为中心，左右对称，均数处最高,正态分布的曲线在横轴上方，向两侧逐渐减低，两侧都以横轴为其渐近线,正态分布有两个参数，即,均数,和,标准差,正态分布的特性,正态分布及其应用,把服从正态分布的变量表示为：,XN(,2,),正态分布的特性,正态分布曲线的参数的意义,均数（位置参数）,表示正态分布曲线峰（集中趋势）的位置,固定时，增大，曲线沿横轴向右移动,减小，曲线沿横轴向左移动,正态分布及其应用,正态分布的特性,正态分布曲线的参数,标准差 （变异度参数）,表示正态变量取值的离中程度,固定时，越大，曲线越宽，表示数据越分散,越小，曲线越窄，表示数据越集中,正态分布及其应用,正态分布的概率密度函数,正态分布及其应用,式中，,为总体均数,；,为总体标准差,；,=3.14159,为圆周率；,e,为自然对数的底,(e2.71828),X,为变量,服从正态分布的变量,X,的概率密度函数,f,(,x,),为,图,1,正态分布的概率密度函数与分布函数,X,取值落在区间（,-,x,）内的累积概率为概率密度曲线下位于（,-,x,）的图形面积，等于其概率密度函数,f,(,x,),在,-,到,x,上的积分，记作,为正态分布 的分布函数。其值表示变量,X,落在区间,（,-,x,）,内的,概率,，对应于从,-,到,x,概率密度曲线下的,阴影面积,（常称为左侧尾部面积）,图,1,正态分布的概率密度函数与分布函数,图,1,正态分布的概率密度函数与分布函数 图,2,正态分布的概率,利用分布函数 可以计算正态分布变量取值在任意区间,a,b,）的概率为,P,(,a,X,b,)=,F,(,b,)-,F,(,a,)(,其几何意义如图,2,中阴影部分所示,),。,由图可得,P,(X,b,)=1-,P,(X,b,）,=1-,F,(,b,),正态分布曲线下面积的分布规律,正态分布及其应用,服从正态分布的随机变量在一区间上曲线下的,面积,与该随机变量在同一区间内取值的,概率,相等,正态曲线与横轴所夹面积为,1,正态分布曲线下面积的规律,正态分布及其应用,1）,正态曲线与横轴所夹的面积为1,2）位于,（-1.64,+1.64）,内的面积为,0.90,，说明正态变量在1.64范围内取值的概率为0.9，在该区间以外取值的概率（两侧的阴影面积之和）为0.1，左右两侧各0.05,3）位于,（-1.96,+1.96）,内的面积为,0.95,，说明正态变量在1.96范围内取值的概率为0.95，在该区间以外取值的概率（两侧的阴影面积之和）为0.05，左右两侧各0.025,4）位于（,-2.58,+2.58）,内的面积为,0.99,，说明正态变量在2.58范围内取值的概率为0.99，在该区间以外取值的概率（两侧的阴影面积之和）为0.01，左右两侧各0.005,正态分布曲线下面积分布规律示意图,正态分布曲线下的面积分布规律,正态分布曲线下的面积分布规律,正态分布及其应用,正态分布下的概率计算,方法一,:,利用统计软件计算,方法二,:,转化为标准正态分布查表计算,曲线下面积的求法：,定积分法,和,标准正态分布法,标准正态分布,当参数 和 已知时，依据正态分布N（，,2,）的分布函数公式，正态变量取值落在各区间的,概率,都归结为正态分布曲线下的面积，只需知道分布函数,F,(,x,)在区间端点处的函数值,就可以算出，但要通过该公式计算,F,(,x,)是困难的,实际应用中，要把服从一般正态分布N（，,2,）的随机变量X作如下标准化变换：,变换后新的随机变量,z,服从，=0，=1的正态分布，即 ZN(0，1),正态分布及其应用,标准正态分布,指数据经标准化变换后，=0，=1时的正态分布,标准正态分布（又称Z分布）:ZN(0，1),公式,任何一个正态分布，都可以通过变换，成为标准正态分布,正态分布及其应用,m,m+s,m-s,X N(,m,s,2,),0,1,-1,X,-,m,s,Z =,N(,0,1,),正态分布及其应用,标准正态分布,图中阴影部分的,面积,表示标准正态变量Z落在（-,z）内的,概率,即为分布函数 的值,标准正态分布的概率密度曲线与分布函数示意图,z,0,z,1,0,z,2,1-,正态分布及其应用,标准正态分布,图中阴影部分的,面积,表示标准正态变量Z落在（-,z）内的,概率,即为分布函数 的值,标准正态分布的概率密度曲线与分布函数示意图,正态分布的应用,1、估计频数分布,标准正态分布,正态分布及其应用,查,标准正态分布表,（附表,C1,）得标准正态变量,z,落在（,-,z,）内的概率值,表,C1,标准正态分布,(z-,分布,),密度曲线下的面积,(z),值,自,-,到,-z,的面积,(-,-z),，,(z,+)=1-(-,-z),正态分布曲线下面积分布规律示意图,正态分布曲线下的面积分布规律,正态分布的应用,1、估计频数分布,例：,140,名成年男子红细胞均数和标准差分别为,4.7810,12,/L,和 0.3710,12,/,L,，求红细胞数在,4 10,12,/L5.3 10,12,/L,范围内所占的比例,?,正态分布及其应用,z,0,z,1,0,z,2,正态分布的应用,练习：,假定一组男孩的体重呈正态分布，体重均数40kg、体重的标准差4kg，请回答以下问题：,（1）体重低于46.6kg的男孩占百分之几？,（2）体重大于什么值的男孩占10%？,正态分布及其应用,以,z,1,1.65,查表，得,(z,1,)0.04950.05,(z,2,)10.050.95,即体重低于,46.6kg,的男孩占,95%,z,1,0 z,2,40 46.6,？,%,z,1,0 z,2,40,10%,X,？,（,2,）以,(z),10%,0.10,先查表，得,z,1,1.28,z,2,z,1,z,2,1.28,X,X+z,S,X,40,1.284,45.12,（,kg,）,即体重大于,45.12kg,的男孩占,10%,2、制定医学参考值范围,医学参考值，又称,正常值范围,，医学上包括绝大多数正常人的某指标值的波动范围,确定范围：一般以95%参考值范围最常用,按资料特点选取不同方法计算正常值范围的上下限,正态分布的应用,正态分布及其应用,单侧下限,-,过低异常,单侧下限,异常,正常,单侧上限,异常,正常,异常,正常,双侧下限,双侧上限,异常,单侧上限,-,过高异常,双侧,-,过高、过低均异常,根据指标含义决定单、双侧范围,正态分布的应用,2、制定医学参考值范围,依据资料的分布类型有以下两种的常用方法：,1）正态近似法,适用于服从正态分布或近似正态分布的资料,双侧 参考值范围,单侧 参考值范围,或,正态分布的应用,2、制定医学参考值范围,依据资料的分布类型有以下两种的常用方法：,1）正态近似法,对于正态分布或近似正态分布的资料，只要样本含量足够大（n100）时，可用：,作为95%的正常值范围（双侧）,正态分布及其应用,例:,估计例3-4中该地正常成年女子的血清总蛋白,（g/L，g/L）的95%参考值范围。,解：,由于该地正常成年女子血清总蛋白近似服从正态分布，可用,正态分布法,计算。因血清总蛋白过多或过少均属异常，所以应取,双侧,，即计算95%参考值范围的上下限。,下限为：（g/L）,上限为：（g/L）,故该地正常成年女子血清总蛋白的95%参考值范围为65.3580.25(g/L)。,正态分布的应用,正态分布及其应用,正态分布的应用,2、制定医学参考值范围,2）百分位数法,适用于偏态分布资料、分布型未知的资料以及分布末端有不确定值的资料,双侧 95%参考值范围,单侧95%参考值范围,正态分布及其应用,或,正态分布的应用,例：某地调查110名健康成年男子的第一秒肺通气量（近似服从正态分布）得：,均数为4.2（L）,标准差为0.7（L）,请据此估计该地成年男子第一秒肺通气量的95%正常值范围？,正态分布及其应用,正态分布的应用,因第一秒肺通气量仅过低属异常，故此正常值范围属仅有下限的单侧正常值范围,又因此资料近似正态分布，故可用正态分布法,即该地成年男子第一秒肺通气量的95%正常值范围不低于3.05(L),正态分布及其应用,例,测得某年某地名正常人的尿汞值如下表，试制定正常人尿汞值的,95%,参考值范围。,表,282,名正常人尿汞值（）测量结果,单侧上限,常用参考值范围的制定,正态分布的应用,3、质量控制,绘出质量控制图,正态分布及其应用,上、下警戒限,上、下控制限,各测定值均在警戒限以内，且随机地分布在中心线的两侧，说明质量在控制中,正态分布的应用,3、质量控制,例如，某实验室对同一控制血清作尿酸定量测定，连续观察20天，得20个数据如下（mg/dl）：,正态分布及其应用,正态分布的应用,4、统计方法的理论基础,许多统计方法（如,t,检验、方差分析等）都要求指标服从正态分布,有些统计量的分布（如,t,分布等）都是在正态分布的基础上推演出来的,正态分布在统计学中占有极其重要的地位,正态分布及其应用,1、正态分布是一种很重要的连续型分布，很多医学现象服从正态分布或近似正态分布，或经变量转换转换为正态分布，可按正态分布规律来处理，是许多统计学方法的理论基础,2、正态分布的特征：曲线在横轴上方，均数处最高；以均数为中心，左右对称；确定正态分布的两个参数是均数与标准差,3、正态曲线下面积的分布有一定规律。利用此规律可用于估计医学参考值范围和质量控制,小 结,