复变函数的极限与连续

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3,复变函数的极限与连续,一、,复变,函数,二、,复变函数的,极限,三、,复变函数的,连续性,1,一、,复变函数,实变量,为实变函数,可用平面上的一条曲线,表示一个实变函数.,的值,一旦确定,只有一个,数和它对应.,高等数学中的实变函数,都是,单,值函数.,复,变量,为,复,变函数,的值一旦确定,有一个,复,数,或几个,复,数和它对应.,如果,的一个值对应着的,只有一个值,则称,为,单,值函数.,例如,为,单,值函数.,如果,的一个值对应着的,有两个,则称,为,多,值函数.,或两个以上的值,例如,为,多,值函数.,2,一个,复,变函数,一定对应着,两个,因为,所以,二元实变函数,例如,此时,映射、变换,自变量,z,的值用,z,平面上的点表示,因变量,w,的值用,w,平面上的点表示,复,变函数,将z平面上的曲线,映射,成,或,变换,成,w平面上的曲线,将z平面上的,区域,映射成,或变换成,w平面上的,区域,3,例1.14,考察,的映射性质,若,1),则,将z平面上的,映射,成,w平面上的,中心在原点的圆,中心在原点的圆,如果,则,若,则,4,将z平面上的,映射,成,w平面上的,正虚轴,负实轴,虚轴,负实轴,正实轴,负虚轴,射线,射线,2),5,将z平面上的,映射,成,w平面上的,双曲线,直线,例1.14,续,考察,的映射性质,6,将z平面上的,映射,成,w平面上的,直线,证,抛物线,例1.14,续,考察,的映射性质,7,例2(1)映射,把z平面上的曲线,映射成w平面上怎样的曲线？,解：,中心在原点、,半径为,的圆,8,例2,(2),函数,把z平面上的,直,线,映射成什么曲线,解,则,消去,得到,消去过程为,代入,化简得到上式,中心在,半径为,的圆,9,例2(3)函数,把z平面上的,直,线,映射成,怎样的曲线？,解,把,映射成,把,映射成,把,映射成,10,例2,续,函数,把z平面上的曲线,映射成怎样的曲线？,解：,原方程变为,所以,所以,月牙形映射成,带形,11,二、,复变函数的极限,一个,复,变函数,一定对应着,两个,因为,所以,二元实变函数,如果当,时,接近于常数A,则称当,时,的,极限,为A,记为,定理一 设,则,的充分必要条件是,且,1.函数的极限,动点z位于z,0,的,任何,一个方向,沿着,任何,路径接近z,0,动点(x,y)位于(x,0,y,0,)的,任何,一个方向,沿着,任何,路径接近(x,0,y,0,),12,定义 如果当,时,接近于,即,则称,和,三、复变函数的连续性,在,处连续,定理三 函数,在,处,连续,的充分必要条件是,在,处,连续,13,在原点,17页20题证明,证,在原点,没有确定,在原点,设,是负实轴的一点,时,时,不存在，,在负实轴上的任何一点,都不连续,在虚轴上连续,例如,时,时,与负实轴,不,连续,的,函数值,不连续,14,练习,把z平面上的,直,线,1.函数,映射,成w平面上,怎样的曲线？,解：,则,消去,得到,15,2.映射,把z平面上的曲线,映射,成w平面上,解,代入,得,映射将,映射,成w平面上的直线,映射将,映射,成w平面上的直线,怎样的曲线？,代入,得,16,映射,把z平面上的区域,映射,成w平面上的区域,且,证明,代入,得,代入,得,练习,证明,17,