直角坐标系的分离变量法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,作业,P220,11.1.3 11.1.6,u (x ,t)的偏微分方程（齐次）,u (x ,t)的边条件（齐次）,u (x ,t)的初条件,令,T (t)满足的方程,X (,x,)满足的常微分方程,X (,x,)满足的边条件,第二章 直角坐标系中的分离变量法,1分离变量法简介,一、基本思想和解题思路,通过分别解X (,x,)和T (t),求出满足齐次方程,齐次边条件的分离变量的形式解：,把这些形式解迭加起来,令其满足非齐次的定解条件，求出C n，,即为所求的解。,二、理论依据线性迭加原理,设：,L,、,M,k,(,k,=1,2,m,)为线性算子,u,i,(,i,=1,2,n,)为线性齐次定解问题的解,则 一定是线性齐次定解问题的解，,其中C,i,为任意常数,即：,【例】,三、处理的主要问题,1.一维空间齐次方程，齐次边条件的定解问题,2.一维空间非齐次方程，齐次边条件的定解问题,3.一维空间非齐次边条件的定解问题,4. 多维空间的定解问题,2齐次方程、齐次边条件的初值边值问题,特点：直接用分离变量法就可获得成功,一、两端固定弦的自由横振动,1.求解过程：,（1）列出定解问题,(2)分离变量,设形式解:,代入中的方程,两边同时除以,(*),分析：右侧只是t的函数与x无关,左侧只是x的函数与t无关,x、t是两个独立变量，所以为了使0x0上式能,处处成立，只能有一种情况：左右常量,由（*）式得到：,将形式解代入边条件：,T (t) 0,整理得：,其中：,为待定常数,讨 论：,1）分离变量法的第一个目的已经达到,分离为,X (,x,)的常微分方程,的边值条件,T (t)的常微分 方程,思考：若方程或边条件之一为非齐次的，是否能,直接成功地分离变量？,2）和的解相乘构成的特解一定满足偏微分,方程定解问题中的齐次方程和齐次边条件。,偏微分方程,的定解问题,（3） 求解常微分方程的边值问题本征值问题,初值问题与边值问题的区别,对自变量t同一点(t=0)给出的不同初条 件,初值问题,边值问题,对自变量中两个不同的端点提出的 条件,边值问题的突出特点是：其解与,的取值密切相关，,本征值问题：含有待定参量的边值问题,本征值：对应边值问题有非零解的参数,n,的取值,本征函数：边值问题的非零解X,n,(,x,),所谓求解本征值问题就是将全部的本征值及相应的,全体,线性无关,的本征函数求出来,下面求解本征值问题：,因为 是厄米算子，本征值,一定是实数,特征方程：,.,0,特征方程：,通解：,代入边条件,上式可视为关于A、B的二元一次方程组，由方程,理论知，二元一次齐次方程组有非零解的充要条件,是其系数行列式为零,A、B只有零解X (,x,)=0,0不是的本征值（因为0,特征方程：,通解：,代入边条件：,两分子乘积为零只有是：,因为B=0不可取（X (x)不为零），所以只有,的解为：,注： . n=0,0，X (,x,)0，所以n=0不能要,.n0是线性相关的,例：,与, 只取n0,.,与,线性相关,取,式即为的解,满足边值问题的解不止是所表达的这些，但线性,无关的就是这些,(4) 求解相应的方程的解（将本征值代 入）,特征方程：,(5) 构成特解,一个本征值,n,一个特解,u,n,(x ,t),一个,n,特解满足：,齐次方程：,齐次边条件：,但一般不满足初条件：,（6）通解,1）通解,u,(x ,t)一定满足齐次方程，齐次边条件。,2）令通解满足非齐次初条件，从而求解迭加系数,将算出的,C,n,，,D,n,代入通解所得的解就是满足,中方程、边条件和初条件的解。,2. 有关问题讨论,（1） 解的敛散性, 的解为无穷级数形式,级数的收敛性，主要由初条件所给的两个函数,(x)和(x),定，,要求,：,(,x,),是有连续的一、二阶导数，分段连续的三,阶导数,(,x,)具有连续的一阶导数，分段连续的二阶导数,保证,u,(,x ,t,)是绝对且一致收敛，可逐项求导两次，,得到的级数仍然是绝对且一致收敛,（2）求解的主要步骤,齐次泛,定方程,分离变量,u,=XT,T (t)的常,微分方程,X (,x,)的常,微分方程,应的T,n,求出相,求出,n,、X,n,(,x,),解本征值问题,齐次边,条件,分离变量,u,=XT,X (,x,)的边条件,迭加,特解,得通,解,初条件,代入通解求出迭加系数,P213,(3) 关于常微分方程的本征值问题,(,*,),i),ii),iii),iv),v),只能用图解法解出,本征值问题(,*,)的共同特点：,a) 本征值,n,为实数,b) 本征函数,X,n,(,x,)是a ,b上的正交完备系,(,*,),（4） 解的物理意义,i) 特解u,n,(x ,t)代表弦上的本征驻波,相位因子,振幅因子,a) 对应某一确定的时刻t，空间各点的振幅不同,对于,的点，振幅最大(,)称作波腹,对于,的点，振幅最小(=0)，称作波节,可以算出波节的位置：,共有n+1个节点,b) 弦上各点振动的位相相同,各点的位相没有超前和落后之分，即弦上各点,同时离开平衡位置，同时取振幅的最大值又同,时回到平衡位置，各点的振动是同步的。,只与弦的性质有关，与初始条件无关,c) 振动的频率,n,本征频率,以本征频率振动的驻波，称为本征驻波,ii) u (x ,t)代表弦上实际发生的振动,u (x ,t)是各次本征驻波迭加的结果，而各次本征,驻波在实际振动中所占的比重由初始条件而定。,思考：,解的形式,二、求解两端自由的均匀细杆的纵振动，各点,初始位移为cos(3,x,/,l)，,初速度为零。,定解问题：,解：设形式解u (x ,t)=X (,x,) T (,t,)代入中方程及边条件,得：,和,解本征值问题,将,n,代入解T,n,(t),n0时：,n=0时：,迭加特解得通解：,代入初条件：,(a),(b),注：所给初条件中的,(x)、(x)满足使级数绝对,收敛的条件,u,t,(x,0)右侧级数中先逐次求导，再代入t=0,分析：,(a)(b),两式的两侧都是按同一正交完备系展开的,(a)(b),两式在整个正交区间0,l, 上都是成立的,所以，可以直接比较系数,物理意义：,均匀细杆上发生的是具有与初始时刻,相同振幅分布的振动,t0时，两端自由，没有外力使振幅,加强或衰弱,课堂练习：,长为,l,的均匀细杆，侧面绝热，左右端分别与0,0,和100,0,的物体接触，t0时刻，撤去右端物体，设杆右端与外界无热交换，,求：杆上各点温度随时间变化？,