函数极限的定义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 函数极限的定义,一、,函数在有限点处的极限,在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数,列是一种特殊的函数定义在正整数集上的函数.那,么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全,面引入函数极限的定义.,引例 设函数,尽管函数在点,处没有定义，,但当 无限趋近于1而不等于1时，,相应 无限趋近于2.,或,定义 设函数,在点 的某个空心邻域中有定义，,如果存在常数,，使得对于任意给定的正数,，总存在,正数,，,对于满足,的一切,，都有,那么常数,就称作函数,当,时的,极限,，记,为,函数极限 的几何意义,对于任意 ，,对满足,的一切 ，,都有,总存在正数 ，,例 函数,注1：函数 在点,处的极限与函数在这一点是否有,定义、或,为多少毫无关系，它所反映的是 在,则有,该点附近,的变化趋势.,经过不等式的变形，得到关系,注2:函数,在点,的极限的定义说明了如何去证明,其中 是一个与,无关的常量.再取 ，则当,函数 在点,的极限为 的方法：对于,考虑,时，有：,此即说明,例1 证明下列极限,证 ,因,所以,取 ，当 时，可使,故,因,欲使 即,所以 不妨取 此时令,则当 时，有,因而,例2 证明,证 因,所以,取 ，当 ，可使,所以,例3,证明,证,因,为能解出不等式 ，要对,进行适当的控制，,为此限定,的变化范围为 ，此时有,所以,取 ，当 时，,可使,所以,证 因,例4 证明,取,即 所以,所以,取 ，当 时，,所以,证,因,例5 设 ，证明,所以,取 ，当 时，,可使,所以,左右极限,考虑函数:,是当 在该点两侧趋近于,时，函数有一个确定的变化,趋势.但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，,这就需要分别加以讨论.,前面讨论的是函数 在某一点,的极限，它反映的,该函数在点,两侧的变化趋势是不同的:,当,在,0,的右侧趋近于,0,时，,当,在,0,的左侧趋近于,0,时，,这就导出左右极限的概念.,那么,称作,在,处的,左极限,，记为,左极限定义：若 当 时，,使得,那么,称作,在,处的,右极限,，记为,右极限定义：若 当 时，,使得,或,或,容易证明：,例如：,定理 极限 存在的充分必要条件是 在点,处的左右极限存在并且相等.即,存在 均存在，且,解 因,例6 说明极限 不存在.,所以极限 不存在.,二、函数在无穷远处的极限,定义 设函数 在,时有定义，为常数.,若 ，当 时，使得,则 称为函数,在,时的极限，记为,或,若 ，当 时，使得,则 称为函数,在,时的极限，记为,或,若 ，当 时，使得,则 称为函数,在,时的极限，记为,或,例7 证明,证,因,所以,取 ，当 时，使得,所以,例8 证明,证,因,只要 ，即,所以,取 ，当 时，使得,所以,类似可证,证,因,例9 证明,所以,取 ，当 时，使得,所以,例10 证明,所以,取 ，当 时，使得,证,因,当 时，则有不等式,所以,三、极限的性质,即：在,的某个空心邻域内有界.,定理1 (,局部有界性,)如果极限 存在，,证,设 ，由定义，对,存在,当,，即 有,那么在,的某个空心邻域内，函数 有界.,证,设 ，由定义，对,存在,当,时，有 从而,定理 (,有界性,)如果极限 存在，那么存在,取 ，则对所有的 ，有,使得对所有的 ，有,定理2 (,极限的保号性,)如果 ，则存在点,的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：,证,设 ，由定义，对,存在,当 时，有,定理2 (,保号性,)如果 ，则存在正整数,当 时，有：,推论 在 的某个空心领域中，有,且,则,注意：如果推论的条件改成 （严格大于），则,不能推出 例如 时 但,证 设 ，则 当 时，,定理3(,函数极限与数列极限的关系,),则此数列相应的函数值数列 收敛，且,设 存在，又设 是函数 定义域中的,一个任意数列，且,由条件 故对 ，当 时，有,即,因而,即,此定理的一个实际意义是：,使其函数值数列收敛到两个不同的值，即,如果能够找到自变量的两个不同子列,则说明函数在这一点无极限.,所以 不存在.,例 证明函数 在 时极限不存在.,证 令,则,但,对于数列，有,定理,设 存在，则对于 的任一子列,用此定理，即可说明数列 的极限不存在.,有,