定积分可积准则定积分性质

,第八章 定积分,8.1,定积分,8.2,可积准则,8.3,定积分的性质,8.4,定积分的计算,8.5,定积分的应用,8.1,定积分,一、曲边梯形的面积,二、定积分的概念,三、定积分的几何意义,一、 曲边梯形的面积,设,为闭区间,上的连续函数，且,由曲线,直线,轴所围成,平面图形称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,这一越来越逼近曲边梯形面积的过程可以分三步进行：,1.,分割：,把曲边梯形,A,分成,n,个小曲边梯形,a,即在,上找到 个分点,2.,近似:,3. 逼近,：,不管分割多么细，小曲边梯形终究不是,S,总有差别. 当分割越来越细时，和式,就会越来越小.,与曲边梯形的面积,矩形，因此黎曼和,二、定积分的概念,称为,积分和或黎曼和,;,若极限,积分上限,积分下限,被积函数,被积表达式,积分变量,积分和,三、定积分的几何意义,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,例1.,利用定义计算定积分,解,将 0,1,n,等分, 分点为,取,定理,1,(,可积必有界）,若函数 在 上可积，则 在 上必有界.,例如，狄利克雷函数,8.2,可积准则,一、大和与小和,二、可积准则,三、三类可积函数,称为,f,关于分割,T,的,大和,其中,称为,f,关于分割,T,的,小和,其中,对任意分割,定义,一、大和与小和,二、可积准则,定理,1,（可积准则）,函数,f,在,a,b,上可积的充要,条件是：,记,定理,2,（连续必可积）,连续，则可积.,若,三、三类可积函数,定理,3,（有限个间断点的有界函数必可积）,f,在 ,a,b, 上可积.,定理,4,（单调必可积）,注：,单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性.,8.3,定积分的性质,例,1,