《留数及其应》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,复变函数与积分变换,Complex Analysis and Integral Transform,复变函数与积分变换,Complex Analysis and Integral Transform,第五章 留数及其应用,5.1,孤立奇点,5.2,留数,5.3,留数在定积分计算上的应用,5.1,孤立奇点,函数不解析的点称为,奇点,.如果函数,f,(,z,)虽在,z,0,不解析, 但在,z,0,的某一个去心邻域0|,z,-,z,0,|,d,内处处解析, 则,z,0,称为,f,(,z,)的,孤立奇点,.,将函数,f,(,z,)在其,孤立奇点,z,0,的去心邻域0|,z,-,z,0,|,d,内展开成洛朗级数,. 根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下：,可去奇点,如果在洛朗级数中不含,z,-,z,0,的负幂项,则,称,孤立奇点,z,0,为,f,(,z,),的可去奇点,.,f,(,z,)=,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.+,c,n,(,z,-,z,0,),n,+.,0|,z,-,z,0,|,d,则在圆域|,z,-,z,0,|,d,内恒有,f,(,z,)=,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.+,c,n,(,z,-,z,0,),n,+.,从而,f,(,z,)在,z,0,点也解析.故,z,0,称为可去奇点.,2. 极点,如果在洛朗级数中只有有限多个,z,-,z,0,的负幂项,且其中关于(,z,-,z,0,),-1,的最高幂为 (,z,-,z,0,),-,m, 即,f,(,z,)=,c,-,m,(,z,-,z,0,),-,m,+.+,c,-2,(,z,-,z,0,),-2,+,c,-1,(,z,-,z,0,),-1,+,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.(,m,1,c,-,m,0),则称孤立奇点,z,0,为函数,f,(,z,)的,m,级极点.,上式也可写成:,其中,g,(,z,) =,c,-,m,+,c,-,m,+1,(,z,-,z,0,) +,c,-,m,+2,(,z,-,z,0,),2,+., 在 |,z,-,z,0,|,d,内是解析的函数, 且,g,(,z,0,), 0 .,反过来, 当任何一个函数,f,(,z,) 能表示为(*)的形式, 且,g,(,z,0,), 0 时, 则,z,0,是,f,(,z,)的,m,级极点.,如果,z,0,为,f,(,z,)的极点, 由(*)式知,3. 本性奇点,如果在洛朗级数中含有无穷多,z,-,z,0,的负幂项,则孤立奇点,z,0,称为,f,(,z,)的本性奇点.,综上所述:,我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.,4.函数的零点与极点的关系,例如当,f,(,z,)=,z,(,z,-1),3,时,z,=0与,z,=1是它的一级与三级零点.,根据这个定义, 我们可以得到以下结论:设,f,(,z,)在,z,0,解析,则,z,0,是,f,(,z,)的,m,级零点的充要条件是:,f,(,n,),(,z,0,)=0, (,n,=0,1,2,.,m,-1),f,(,m,),(,z,0,)0 .,不恒等于零的解析函数,f,(,z,)如能表示成 其中 在,z,0,解析且,m,为某一正整数, 则,z,0,称为,f,(,z,)的,m,级零点,.,因为, 若,f,(,z,)在,z,0,解析, 就必能在,z,0,的邻域展开为泰勒级数:,f,(,z,)=,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.+,c,m,(,z,-,z,0,),m,+，易证,z,0,是,f,(,z,)的,m,级零点的充要条件是前,m,项系数,c,0,=,c,1,=.=,c,m,-1,=0,c,m,0,等价于,f,(,n,),(,z,0,)=0, (,n,=0,1,2,.,m,-1),f,(,m,),(,z,0,)0 。,例如,z,=1是,f,(,z,)=,z,3,-,1的零点, 由于,f,(1) = 3,z,2,|,z,=1,=3, 0, 从而知,z,=1是,f,(,z,)的一级零点.,所以 在,z,0,的去心邻域内不为零, 即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.,由于 中的,在,z,0,解析, 且,故 必在,z,0,连续, 所以给定,该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.,例3,对 讨论函数 在 处的性态。,5.2 留数,留数的定义,如果函数,f,(,z,),在,z,0,的邻域,D,内解析,那么根据柯西积分定理,但是, 如果,z,0,为,f,(,z,)的一个孤立奇点, 则沿在,z,0,的某个去心邻域 0|,z,-,z,0,|,R,内包含,z,0,的任意一条正向简单闭曲线,C,的积分,未必再等于零.(先回顾,P40,例3.1.1),两端沿,C,逐项积分:,定义,D,z,1,z,2,z,3,z,n,C,1,C,2,C,3,C,n,C,定理一 设函数,f,(,z,)在区域,D,内除有限个孤立奇点,z,1,z,2, .,z,n,外处处解析.,C,是,D,内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则,2.,留数定理,证明,把,C,内的孤立奇点,z,k,(,k,=1,2,.,n,)用互不包含的正向简单闭曲线,C,k,围绕起来, 则根据复合闭路定理有,注意检查定理中的条件要满足。例如,不能应用留数定理。,求函数在孤立奇点,z,0,处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(,z,-,z,0,),-1,项的系数,c,-1,即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数会更有利.,如果,z,0,是,f,(,z,)的可去奇点, 则Res,f,(,z,),z,0,=0 . 如果,z,0,是本性奇点, 则只好将其,展开成,洛朗级数. 如果,z,0,是极点, 则有如下规则:,3. (极点)留数的计算规则,规则2,如果,z,0,为,f,(z)的,m,级极点, 则,事实上, 由于,f,(,z,)=,c,-,m,(,z,-,z,0,),-,m,+.+,c,-2,(,z,-,z,0,),-2,+,c,-1,(,z,-,z,0,),-1,+,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.,(,z,-,z,0,),m,f,(,z,)=,c,-,m,+,c,-,m,+1,(,z,-,z,0,)+.+,c,-1,(,z,-,z,0,),m,-1,+,c,0,(,z,-,z,0,),m,+.,规则1,如果,z,0,为,f,(z)的一级极点, 则,令,z,z,0,右端的极限是(,m,-1)!,c,-1,两端除以(,m,-1)!,就是Res,f,(,z,),z,0,即得,规则2,当,m,=1时就是,规则1。,即得,规则3,。,由规则1, 得,我们也可以用规则3来求留数:,比用规则1更简单!,例 4,解：,z = 0为一级极点。,例 5,解：,原式=,*,5.3.在无穷远点的,留数,f,(,z,)在圆环域,R,|,z,|,内解析：,理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。,的值与,C,无关, 称其为,f,(,z,)在,点的留数, 记作,设函数,f,(,z,)在圆环域,R,|,z,|,内解析,C,为圆环域内绕原点的,任何一条简单闭曲线, 则积分,这就是说,f,(,z,)在点的留数等于它在点的去心邻,R,|,z,|+内洛朗展开式中,z,-1,的系数变号.,定理二,如果,f,(,z,),在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么,f,(,z,),在所有各奇点(包括,点)的留数总和必等于零.,证：除点外,设,f,(,z,),的有限个奇点为,z,k,(,k,=1,2,.,n,).且,C,为一条绕原点的并将,z,k,(,k,=1,2,.,n,)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有,所以规则4 成立.,定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又,一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.,例 6,解：,证明,：,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是涉及闭路积分的，要应用于定积分，必须先将定积分变为闭路积分中的一部分。,5.3 留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分 ，变量,x,定义,在闭区间,a,b,(线段 )，此区间应是回路,的一部分。实积分要变为闭路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分：,其中,f,(,z,)是,z,的有理函数, 且在单位圆周|,z,|=1上分母不为零, 根据留数定理有,其中,z,k,(,k,=1,2,.,n,)为单位圆|z|=1内的,f,(,z,)的孤立奇点.,例1 计算 的值.,解: 由于 , 被积函数的分母在,内不为零,因而积分是有意义的.,在被积函数的三个极点,z,=0,p,1/,p,中只有前两个在圆周|,z,|=1内,其中,z,=0为二级极点,z,=,p,为一级极点.,例2 计算 的值.,解：令,例3,解：,取积分路线如图所示, 其中,C,R,是以原点为中心,R,为半径的在上半平面的半圆周. 取,R,适当大, 使,R,(,z,)所有的在上半平面内的极点,z,k,都包在这积分路线内.,z,1,z,2,z,3,y,C,R,-,R,R,O,x,不失一般性, 设,为一已约分式.,此等式不因,C,R,的半径,R,不断增大而有所改变.,例 4,例 5,解：,也可写为,例6 计算 的值.,解:这里,m,=2,n,=1,m,-,n,=1.,R,(,z,)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点,ai,例7 计算积分 的值.,解: 因为 是偶函数,所以,因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限,下面将证明,由于,所以,j,(,z,)在,z,=0处解析,且,j,(0)=,i, 当|,z,|充分小时可使|,j,(,z,)|,2,而,由于,在,r,充分小时,本章重点与难点,拓展思考,复变函数中的可去奇点与实变函数中可去间断点有何共同之处?,How beautiful the sea is!,Lets have a rest!,