例1变速直线运动的速度

例1.,变速直线运动的速度,物体作匀速直线运动时, 有,这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作,V,.,由于匀速运动物,体的速度是不变的，因此,41导数的概念,一、导数概念的引入,由于变速直线运动物体的速度,V,(,t,),是变的，因此，用这个公式算出的平均速度,V,不能真实反映物体在时刻,t,0,的瞬时速度,V,(,t,0,).,如何求,V,(,t,0,)?,设一物体作变速直线运动，在0,t,这段时间内所走路程为,S,=,S,(,t,).,下求,V,(,t,0,),如图,S,S,(,t,0,),S,(,t,0,+,t,),0,设物体在,t,0,时，所走路程为,S,(,t,0,)，在,t,0,+,t,时所走路程为,S,(,t,0,+,t,)，从而，物体在 ,t,0,t,0,+,t, 这段时间内所走路程为,S =,S,(,t,0,+,t,),S,(,t,0,),物体在 ,t,0,t,0,+,t, 这段时间内的平均速度为,t,越小，近似值,就越接近精确值,V,(,t,0,).,当,t,无限变小时，近似值,就会无限接近,也就是,精确值,V,(,t,0,).,例2.,曲线的切线斜率,圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言. 这一定义是不合适的.如,y,=,x,2,x,轴和,y,轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图,y,=,x,2,0,x,y,又如，,y,=,x,3, 如图,又比如，,y,=sin,x, 如图,0,x,y,=,x,3,y,0,x,y,y,=sin,x,1,1,切线的一般定义：如图,设有曲线,C,及,C,上一点,M,，,在,M,点外任取,C,上一点,N,，,作割线,MN,，,当点,N,沿曲线,C,趋向点,M,时，如果割线,MN,趋向于它的极限位置,MT,，,则称直线,MT,为曲线,C,在点,M,处的切线.,T,M,x,y,0,N,C,N,下面讨论曲线,C,：,y,=,f,(,x,),在点,M,(,x,0,y,0,),处的切线斜率问题.,设,N,的坐标为 (,x,0,+,x,y,0,+,y,),割线,MN,的倾角为, 切线,MT,的倾角为,.,如图,T,y,=,f,(,x,),M,x,x,0,x,0,+,x,x,y,0,N,C,y,0,+,y,y,0,P,割线,MN,的斜率,当,x,0 时,N,沿,C,趋于,M,MN,MT,.,从而,.,因此, tg,tg,.,T,y,=,f,(,x,),M,x,x,0,x,0,+,x,x,y,0,N,C,y,0,+,y,y,0,P,T,y,=,f,(,x,),M,x,x,0,x,0,+,x,x,y,0,N,C,y,0,+,y,y,0,所以切线,MT,的斜率：,P,定义：,设,y,=,f,(,x,),在,x,0,的某邻域U(,x,0,),内有定义. 如果当,x,0,时，,的极限存在, 则称这个极限值为,f,(,x,),在,x,0,处的导数，记作,f ,(,x,0,),即,二、导数的定义,存在，则称,f,(,x,),在,x,0,可导(或称,f,(,x,),在,x,0,的导数存在). 否则，称,f,(,x,),在,x,0,不可导(或称,f,(,x,),在,x,0,的导数不存在). 特别,注1.,若,若记,x,=,x,0,+,x,当,x,0,时,x,x,0,特别，取,x,0,= 0,且若,f,(0) = 0,有,注2.,导数定义还有其他等价形式,注3.,对于例1, 有,对于例2, 曲线,y,=,f,(,x,),在点,M,(,x,0,f,(,x,0,),处切线斜率,注4.,由于,称为,f,(,x,),在,x,0,的右导数.,称为,f,(,x,),在,x,0,的左导数.,有,f,(,x,),在,x,0,可导,f,(,x,),在,x,0,的左, 右导数存在且相等.,注5.,若,y,=,f,(,x,),在(,a,b,),内每点可导，则称,f,(,x,),在(,a,b,),内可导.,此时，,x,(,a,b,),都有唯一确定的值,f ,(,x,),与之对应，所以导数是,x,的函数.,称为,y,=,f,(,x,)的导函数,按定义，,f ,(,x,)就是,x,所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式.,而,f ,(,x,0,)就是,f ,(,x,)在,x,=,x,0,处的函数值，即,另外，求,注6.,用定义求导数一般可分三步进行.,设,y,=,f,(,x,),在点,x,处可导,(1) 求,y,=,f,(,x,+,x,) ,f,(,x,),(2) 求比值,(3) 求极限,三、求导举例,例3.,求,y,=,C,(,常数)的导数.,解：,(1),y,=,f,(,x,+,x,) ,f,(,x,) =,C,C,= 0,(2),(3),故,(,C,) = 0,即常数的导数为0.,例4.,设,y,=,f,(,x,) =,x,n,.,n,为正整数，求,f,(,x,).,解：,(1),y,=,f,(,x,+,x,) ,f,(,x,),= (,x,+,x,),n,x,n,(2),(3),即,(,x,n,)=,nx,n,1,比如，(,x,)=1,(,x,2,)=2,x,(,x,3,)=3,x,2,一般，对幂函数,y,=,x,为实数,有,(,x,) =,x,1,比如,例5.,求,y,= sin,x,的导数.,解：,(1),y,= sin,(,x,+,x,) sin,x,(2),(3),即,(sin,x,) = cos,x,类似,(cos,x,) =,sin,x,例6.,求,y,=,a,x,的导数，其中,a,0,a,1.,解：,从而,即,(,a,x,) =,a,x,ln,a,特别，取,a,=,e,则,(,e,x,)=,e,x,例7.,求,y,=log,a,x,的导数，其中,a,0,a,1,x,0,并求,y,|,x,=1,.,解：,即,特别，取,a,=,e,则,从而,由例2知, 函数,y,=,f,(,x,),在,x,0,处的导数,f,(,x,0,),就是曲线,y,=,f,(,x,),在点,M,(,x,0,f,(,x,0,),处切线的斜率，即,k,=,f,(,x,0,).,法线方程为,一般, 若,f,(,x,0,)存在, 则,y,=,f,(,x,),在点,M,(,x,0,f,(,x,0,)处切线方程为,四、导数的几何意义,特别，(i)当,f,(,x,0,)=0,时，即,k,= 0.,从而切线平行于,x,轴. 因此，法线垂直于,x,轴.,如图,切线方程：,y,=,f,(,x,0,).,法线方程：,x,=,x,0,.,y,=,f,(,x,),0,x,y,M,f,(,x,0,),x,0,(2) 当,f,(,x,0,)=,(,不存在). 即,k,= tg,=.,故,从而切线垂直于,x,轴，而法线平行于,x,轴.,切线方程：,x,=,x,0,.,法线方程：,y,=,f,(,x,0,).,如图,单位圆在(1, 0)处切线方程:,x,= 1.,法线方程:,y,= 0.,0,x,y,1,1,又如图,由于在原点(0,0)处,x,y,0,(不存在),从而切线方程:,x,=0,法线方程:,y,= 0.,例8.,求过点(2, 0)且与曲线,y,=,e,x,相切的直线方程.,解：,由于点(2, 0)不在曲线,y,=,e,x,上，故不能直接用公式,y,f,(,x,0,) =,f,(,x,0,)(,x,x,0,).,由于(,e,x,)=,e,x,因切线过点(2, 0), 代入, 得,得,x,0,= 3.,所求切线为,y,e,3,=,e,3,(,x,3),定理.,若,y,=,f,(,x,),在,x,0,可导，则,y,=,f,(,x,),在,x,0,必连续.,证：,因,f,(,x,),在,x,0,可导，即,五、可导与连续的关系,由极限与无穷小量的关系，有,或,故,定理的逆命题不成立，即, 若,y,=,f,(,x,),在,x,0,连续，,y,=,f,(,x,),在,x,0,不一定可导.,例.,讨论,f,(,x,)=|,x,|,在,x,=0,处的可导性和连续性.,解：,由于,故,|,x,|在,x,=0,连续.,但|,x,|在,x,=0,不可导. 因,f,(,x,)=|,x,|=,x,x,0,x,x,0,实数)的导数,解：,y,=,e,ln,x,例11.,求,y,= sin,nx,sin,n,x,的导数，,n,为常数.,解：,定理3.,若,x,=,(,y,),在某区间,I,y,内严格单调, 可导,(,y,) 0,则它的反函数,y,=,f,(,x,),在对应区间,I,x,内也可导, 且,证：,由于,x,=,(,y,),在,I,y,内严格单调、连续. 从而它的反函数,y,=,f,(,x,),存在, 并在,I,x,内有相同的单调性, 同时,y,=,f,(,x,),在,I,x,内连续.,即,下证,三、反函数求导法则,x,I,x, 给改变量,x,0,相应的函数,y,=,f,(,x,),有改变量,由于,x,=,(,y,),和,y,=,f,(,x,),互为反函数，,即，,即,x,也就是函数,x,=,(,y,),的改变量.,因,y,=,f,(,x,),连续，故当,x,0,时，,y,0，,且,(,y,) 0,例11.,证明,证：,y,=arc sin,x,是,x,=sin,y,的反函数.,x,=sin,y,在,内单调，可导，且(sin,y,),=cos,y, 0,所以在对应区间(,1,1)内，有,例12.,证明,证：,y,=arc tg,x,是,x,=tg,y,在,上的反函数,x,=tg,y,在,内单调，可导，且,例13.,设,解：,=,当,x, 0,且|,x,| ,a,时,当,x,a,时,=,P106 P107,四、导数公式表,说明：,公式12,(1),当,x, 0,时，,(2),当,x, 0,时，,综合(1)、(2)有,公式17,因为,类似得公式18,例14.,解:,例15.,设,sin,x,x, 0,e,x,1,0 ,x, ln3,2,x,2,ln3 ,x,求,f,(,x,) 的导数, 并指出,f,(,x,)的不可导点.,解:,当,x, 0时,f ,(,x,) = (sin,x,),= cos,x,.,当,0 ,x, ln3时,f ,(,x,) = (e,x,1,),= e,x,.,当,ln3 ,x,时,f ,(,x,) = (2,x,2,),= 4,x,.,f,(,x,) =,考虑分段点,x,= 0, ln3处的导数.,= 1 (当,x, 0时,f,(,x,) = sin,x,),= 1 (当,0 ,x, ln3时,f,(,x,) = e,x,1,),由于,f ,(0) =,f ,+,(0),= 1,故,f ,(0) = 1,.,由于当,0,x, ln3时,f,(,x,) = e,x,1,. 当 ln3,x,时,f,(,x,) = 2,x,2,. 故,f,(ln3) = e,ln3,1 = 2.,从而,所以,f,(,x,) = ln3 处不可导.,综合,f ,(,x,) =,cos,x,x,0,1,x=,0,e,x,0 ,x, ln3,4,x,ln3 0,在 (, +,)内可导.,解:,由于可导必连续, 故要使,f,(,x,) 可导, 必先使,f,(,x,)连续.,由于,f,(0) = 3,故,a,= 2,b,= 3时,f,(,x,)在 (, +,)可导.,得,b,= 3.,f,(,x,) =,以前所接触到的函数通常是,y,=,f,(,x,),的形式, 即左边是,y,而右边是一个不含,y,的表达式.,如,我们称为显函数,根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现.,五、隐函数求导法则,比如，给二元方程,y,3,+2,x,2,1=0,任给一个,x,，,都可根据上面的方程，解出,唯一的一个,y,来即，任给一个,x,都有唯一的一,个,y,与之对应，因此,y,是,x,的函数.,称,y,为由方程,y,3,+2,x,2,1=0,所确定的隐函数.,定义：,设有二元方程,F,(,x,y,)=0，,如果对任意的,x,I,x,存在唯一的,y,满足方程,F,(,x,y,)=0,则称方程,F,(,x,y,)=0,在I,x,上确定了一个隐函数,y,=,y,(,x,).,有些隐函数很容易表成显函数的形式.,如，由,y,3,+2,x,2,1=0，,解得,把一个隐函数化为显函数的形式，称为隐函数的显化.,有些隐函数不一定能显化或者很难显化.,如,y,x,sin,y,=0 (0, 0,x, 0,两边对,x,求导, 注意到,y,是,x,的函数, 从而ln,y,是,x,的复合对数.,从而,解(二)：,由于对,y,=,f,(,x,),两端取对数时要求,y,0.,这限制了对数求导法的应用范围. 应想办法去掉这种限制.,两边取绝对值, 再取对数.,设,y,=,f,(,x,),g,(,x,). 其中,f,(,x,),g,(,x,)均非0且在点,x,处可导。,(i),当,y, 0,时,(ii),当,y, 0,时,同理, 当,f,(,x,),g,(,x,),不等于0时,得,即,注意:,对数求导法只能求使,y,0,的,x,处的导数. 若要求使,y,=0,的,x,处的导数, 则须另想办法.,例23.,解:,可用对数求导法求导数.,两边对,x,求导,y,是,x,的函数.,故,例20.,解:,由于,f,(0) = 0.,不能用对数求导法.,