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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,鉴江中学 于孙潮,C,A,B,b,c,a,1.本章内容有锐角三角函数的概念，解直角三角形及解直角三角形的应用。,在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放,在直角三角形中,并且三角函数值与边无关。,2.锐角,的取值范围及变化情况：,3.特殊角的三角函数值：,4.同一锐角,的三角函数之间的关系：,（1）平方关系：,sin,2,+cos,2,=1,5.互余两角的三角函数之间的关系：,6.解直角三角形的依据：,在,Rt,ABC,中，,C=90，A、B、C,的对边分别为,a、b、c，,除直角,C,外，其余五个元素之间有以下关系：,（1）三边关系：,a,2,+b,2,=c,2,（,勾股定理）,（2）锐角之间的关系：,A+B=90（,互余关系）,（3）边角关系：,解直角三角形时，要注意适当选用恰含一个未知数的关系式。,任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值，,任意锐角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。,7.解直角三角形的分类：,例如,选用关系式归纳为口诀：,已知斜边求直边，正弦余弦很方便；,已知直边求直边，正切余切理当然；,已知两边求一边，勾股定理最方便；,已知两边求一角，函数关系要选好；,已知锐角求锐角，互余关系要记好；,已知直边求斜边，用除还需正余弦；,计算方法要选择，能用乘法不用除。,8.,有关解直角三角形的应用题：,应用解直角三角形的知识解决实际问题的时候，常用的几个概念：,(1),仰角、俯角：,视线与水平线所成的角,中，视线在水平线,上方,的叫做,仰角,，在水平线,下方,的叫做,俯角,，如图,1,。,(2)坡角：,坡面与水平面的夹角,叫做坡角，用字母 表示。,坡度（坡比）：坡面的铅垂高度,h,和水平宽度 的比叫做,坡度,，用字母,i,表示，即 ，如图2。,(3),方位角：从某点的指,北方向线,按,顺时针,转到目标方向的水平角，叫做,方位角,，如图,3,中，目标,A,、,B,、,C,的方位角分别为。,(4)方向角：指,北,或,指南方向线,与目标方向线所成的,小于,的水平角叫做,方向角，,如图4中，目标,A、B、C、D,的方向角分别表示,北偏东,、,南偏东,、,南偏西,、,北偏西,。又如，,东南方向,，指的是,南偏东,角。,一.基础题型分析：,例1.,分析：,解法二：利用同角的三角函数的关系式。,sin,2,B+cos,2,B=1,例2.,A=30。,（2）B=90A=9030=60,。,解法二：,（1）在,Rt,ABC,中,无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。,A=30,说明：,解法一：在,Rt,ABC,中，如图3。,例3.当45,cos,B.sin=,cos,C.tancotD.tanAC,。,解法一：利用三角函数定义。,应选,A，,其余三项也可根据定义证明不成立。,解法二：化为同名三角函数，利用增减性比较大小,。,根据锐角的正弦（切）的增减性可知,应选,A，,其它两项也不成立。,解法三：找标准量45角比较,。,45,sin45，,cos,cos,，,同理,tancot，,应选,A。,例4.,A.,等腰非等边三角形,B.,等边三角形,C.,直角非等腰三角形,D.,等腰直角三角形,分析：,所以,A=60,，,B=60,，,应选,B,。,例5.,为锐角，若,m2，,下列四个等式中不可能成立的是（）,分析：根据三角函数值的取值范围，有,判断可知,cos,选项不可能成立，应选,B,。,例,6.,分析：题目涉及到同角,的正余弦的和差，可以考虑应用关系式：,sin,2,+cos,2,=1,解题。,注意：开平方要取正负，因为题中不能确定,sin,与,cos,的大小,。,例7.在,Rt,ABC,中，,C=90，a+c=12，b=8，,求,cosB,。,解：,二.综合题型分析：,例8.已知：如图5，,ABC,中，,B=30，ADC=45，ACB=120，D,是,BC,上一点，若,CD=8，,求,BD,的长。,A,B,D,C,(,图,5,),30,45,120,解法一：过,A,作,AEBC,的延长线于,E，,ACB=120，ACE=60。,ADC=45,DE=AE,E,解法二：如图6，过,D,作,DFBC,于,D，,交,AB,于,F。,A,B D C,(,图,6,),30,45,120,F,易证得,FAD=DAC=15,FDBC，ADC=45,ADF=ADC=45,在,ADF,和,ADC,中,ADFADC,DF=DC=8,在,Rt,BDF,中,，,例9.如图7，已知,MNBE,和,ABCD,都是正方形，,MC,与,AB,相交于,F，,已知,sin=,分析：实质上是已知比值求比值的问题，不过它是特殊的比值问题，因为这里两条线段的比是直角三角形中两条边的比值问题。,锐角，或,是,Rt,MNC,的锐角，或,是,Rt,EMF,的一个锐角，这样就有三种解法。,求,tan，,从图形直观上看，就是把,放在,Rt,AME,中，求出,AE,和,ME，,或用某个字母,x,的代数式表示,AE,和,ME,即可。,解：在,Rt,MNC,中，,设,MN=5x,，,MC=13x,，,则NC=12x。,ME=MN=NB=5x，BC=NCNB=7x。,例10.在,ABC,中，,C=90，A=15，AB=12，,求,S,ABC,。,C,A,（图,8,）,15,解法一：如图,8,，取,AB,的中点,D,，,连结,CD,，,过,C,作,CE,AB,于,E,。,AB=12,A=ACD=15,CDB=30,在,Rt,CDE,中，,B,E,D,解法二：如图9，把,ACB,沿,AC,翻折，得到,ACD，,C,A,（图,9,）,D,则,ACDACB,DAC=CAB=15，DAB=30,AD=AB=12,过点,D,作,DEAB,于,E，,DE=ADsin30=6,B,E,例11.如图湖泊的中央有一个建筑物,AB，,某人在地面,C,处测得其顶部,A,的仰角为60，然后，自,C,处沿,BC,方向行100,m,到,D,点，又测得其顶部,A,的仰角为30，求建筑物的高（结果保留根号）,分析：,本题的关键在于（1）,DB-CB=100（2）,Rt,ABC,与,Rt,ADB,有一条共同的线段,AB，,因此只要利用,Rt,ABC,和,Rt,ADB,分别用,AB,表示出,DB,和,CB,即可列出方程,DB-CB=100，,问题便可迎刃而解。,解：设,AB=x,例3.,人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置,O,点的正北方向10海里处的,A,点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向以26海里/时的速度追赶在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：（1）需几小时才能追上？（点,B,为追上的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向，（精确到0.1）,分析：,（1）此题可利用于方程来解决，设需,t,小时追上，然后根据直角三角形三边满足勾股定理来列出一个关于“,t”,的一元二次方程，从而求出时间,t。（2）,要求,B,点的方位角，首先应理解方位角在几何图中的表示方法，然后借助正弦函数值以及计算器来求出,B,的方位角。,解：,设需,t,小时才能追上。,（2）在,Rt,AOB,中,即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4。,A,B,O,例5.如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由,A,处运往正西方向的,B,处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由,A,向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。,（1）问,B,处是否会受到影响？请说明理由。,（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物,。,北,A,B,西,C,分析：,台风中心在,AC,上移动，要知道,B,处是否受影响，只要求出,B,到,AC,的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响。,（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距,B200,海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。,北,C,60,西,B,A,D,E,F,解：,（1）过,B,作,BDAC,于,D,根据题意得：,BAC=30，,在,Rt,ABD,中,B,处会受到影响。,（2）,以,B,为圆心，以200海里为半径画圆交,AC,于,E、F（,如图）则,E,点表示台风中心第一次到达距,B,处200海里的位置，在,Rt,DBE,中，,DB=160，BE=200，,由勾股定理可知,DE=120，,在,Rt,BAD,中，,AB=320，BD=160，,由勾股定理可知：,该船应在3.8小时内卸完货物。,在,Rt,ABC,中，,C=90：,已知,A、c,则,a=_;b=_。,已知,A、b,则,a=_;c=_。,已知,A、a，,则,b=_;c=_。,已知,a、b，,则,c=_。,已知,a、c，,则,b=_。,A,B,b,a,c,C,对边,邻边,斜边,已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的,正弦,；,求邻边，用锐角的,余弦,。,已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的,正切,；,求斜边，用锐角的,余弦,。,已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的,余切,；,求斜边，用锐角的,正弦,。,返回,
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