1-2函数的性质

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1-2,函数的性质,1,1,、邻域,2,、特殊函数：,常函数；绝对值函数；最值函数；,符号函数；高斯函数；,复习,2,1.,有界性,定义,:,设函数,f,(,x,),在实数集,D,内有定义，如果存在正数,M,，使得对任意的,x,D,，都有,f,(,x,),成立,则称,f,(,x,),在,D,内,有界,或称,f,(,x,),在,D,内为,有界函数,否则称,f,(,x,),在,D,内,无界,或称,f,(,x,),在,D,内为,无界函数,二、函数的性质,3,有界函数的几何意义,：,设,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有界，即存在,M,0,，使对任意的,x,(,a,b,),有,f,(,x,),M,或,-,M,f,(,x,),M,.,而,f,(,x,),表示函数,y,=,f,(,x,),的图形上点,(,x,f,(,x,),的纵坐标。,因此,y,=,f,(,x,),在,(,a,b,),内有界在几何上表示,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内的函数图形必夹在两平行于,x,轴的直线,y,=,M,之间,.,反之亦然,.,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,无界,M,-M,y,x,o,X,4,定义,2,设函数,f,(,x,),在实数集,D,内有定义，若存在数,A,，使得对任意的,x,D,，都有,f,(,x,),A,(,或,f,(,x,),A,),成立,则称,f,(,x,),在,D,内,有上界,(,或,有下界,),.,A,称为,f,(,x,),在,D,内的一个,上界,(,下界,),函数,f(x),在,D,上有界的充要条件是该函数在,D,内既有上界又有下界,.,5,例如,:,函数,y,=,sin,x,在其定义域,(-,+),内是有界的，因为对任一,x,(-,+),都有,|sin,x,|1.,再如,函数 在区间 上有界,因在该区间上恒有 成立,;,在区间 上无界，但有下界,.,6,7,说明：,(1),当一个函数有界时，界不唯一；,(2),函数有界与否与,区间,有关，是局部概念；,(3),函数有界表现在函数图像在两平行线之间。,2,函数的单调性,:,定义：,设函数,f,(,x,),的定义域为,D,，,区间,如果对于,区间,I,上任意两点,及,当,时，,恒有,则称函数,f,(,x,),在区间,I,上是单调增加（或减少）的。,8,x,y,o,x,y,o,单增单减函数统称为,单调函数。,有界性和单调性都是,局部概念。,说明：,(1),单调性与定义区间,I,有关，也是局部概念；,(2),单调函数图像特点：增：上升；减：下降。,(3),判断方法：定义法；图像法；导数法。,9,3,、函数的奇偶性,:,偶函数,设,D,关于原点对称，,对于,有,则称,f,(,x,),为,偶函数,.,y,x,o,x,-,x,y,x,o,x,-,x,有,则称,f,(,x,),为,奇函数,.,奇函数,10,解,所以，它是奇函数,.,例,1,判断下列函数的奇偶性,其中,定义在,上,11,解,所以，它是奇函数,.,所以，它是偶函数,.,例,1,判断下列函数的奇偶性,其中,定义在,上,12,4.,周期性,例如,函数,f(x),=sin,x,的周期为,2,;,f(x),=tan,x,的周期是,.,若,T,为,f,(,x,),的周期，则,f,(,x,),有无穷多个周期，,kT,(,k,Z,),都是,f,(,x,),的周期通常函数的周期是指它的最小正周期,(,如果存在的话,),定义,7,设,y,=,f,(,x,),的定义域为,D,(,f,),若存在常数,T,0,使得对任意的,x,D,(,f,),有,x,+,T,D,(,f,),且,f,(,x,+,T,)=,f,(,x,),则称,f,(,x,),为周期函数,T,称为,f,(,x,),的周期,13,证明,例,2,设函数,y=,f,(,x,),是以,T,为周期的周期函数，证明函数,y=,f,(,ax,)(,a,0,),是以,T/a,为周期的周期函数,.,只需证明,f,(,ax,)=,f,a,(,x,+,T/a),.,因为,f,(,x,),以,T,为周期，所以,f,(,ax,)=,f,ax+,T,.,即,f,(,ax,)=,f,a,(,x,+,T/a),.,所以,y=,f,(,ax,),是以,T/a,为周期的周期函数,.,例如,函数,y,=,sin,x,y,=sin2,x,y,=sin3,x,的周期为,2,2,/3,.,14,例,3,解,周期函数,(,无最小正周期,),15,三,、,反函数,1.,反函数的定义,设函数,y=,f,(,x,),的定义域为集合,A,其值域为,B,如果对于,B,中的每一个元素,y,B,在集合,A,中都有唯一确定的,x,A,与之对应,则说在集合,B,上定义了一个函数,则说在集合,B,上定义了一个函数,称该函数为,y=,f,(,x,),的,反函数,记作,x=f,-,1,(,y,).,习惯上用,x,表示自变量,y,表示因变量,因此反函数常写成,y=f,1,(x),.,16,直接函数与反函数的图形，,关于直线,y=x,对称,.,直接函数,反函数,2.,反函数的直观解释,17,注意：,(1),求反函数的,步骤：,由,y,=,f,(,x,),分离,定义域,交换,x,y,(2),反函数存在定理：,若,f,是定义在,D,上的单调函数，则,f,的反函数,必定存在，且是,f(D,),上的单调函数,18,例,4,求 的反函数,.,解,从 中解出,得,显然,每一个 均对应唯一的一个,所以更换变量得其反函数为,19,例,5,设函数,求,f,-1,(,x,+1).,令,u,=,x,+l,，得,解,20,四、函数的四则运算,例,5,则我们可以定义这两个函数的下列运算：,设函数,的定义域依次为,和（差）,积,商,解,21,2,、复合函数,设,y,是,u,的函数,y,=,f,(,u,),，,而,u,又是,x,的函数,定义：,且,(,x,),的值域与,f,(,u,),的定义域的,交集非空,y,=,f,(,x,),叫,y,=,f,(,u,),与,u,=,(,x,),的,复合函数,.,注意,:,1),不是任何,两个函数都可以复合成一个复合函数的,;,u,=,(,x,),则函,数,设,x,:,自变量,u,:,中间变量,y,:,因变量,.,如：,即,是由,与,复合而成的,复合函数,.,22,例,6,设,y,=,f,(,u,)=ln(,u,-2),u,=,(,x,)=,sin,x,问,f,(,u,),和,(,x,),能否构成复合函数,f,(,(,x,),？,将,u,=,sin,x,代入到,y,=ln(,u,-2),中，得,y,=ln(sin,x,-2),，由于,-1sin,x,1,sin,x,-20,，故函数的定义域为空集，所以不能构成复合函数,解,23,复合函数可以由,两个以上,的函数经过复合构成,.,2),3),分解复合函数,时，,必须分解为自变量的,简单函数,才算完成,.,如：,如：,分解方法,:,从外到里,.,24,解,综上所述,例,7,25,分析,:,恒等变形法和变量代换法,.,一般有两种方法：,26,例,9,设,且,求,及其定义域,.,解,由,知,:,又,则,则,要使,定义域为,27,思考题,思考题解答,设,则,故,28,1,、函数的基本性质：,2,、复合函数的合成与分解,3,、基本初等函数和初等函数,下列函数能否复合为函数,y,=,f,g,(,x,),若能，写出其解析式、,定义域、值域,.,思考题,小结,29,作业,P16：9(1),9(3),10,11,30,