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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,四,渐开线与摆线,第二讲,参数方程,学习目标,1.,了解圆的渐开线的参数方程,.,2,.,了解摆线的生成过程及它的参数方程,.,3,.,学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤,.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一渐开线,把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状,.,若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数,.,答案,答案,根据,动点满足的几何条件，我们以基圆圆心,O,为原点，直线,OA,为,x,轴，建立平面直角坐标系，如图所示,.,设,基圆的半径为,r,，绳子外端,M,的坐标为,(,x,，,y,).,显然，点,M,由角,惟一确定,.,圆的渐开线及其参数方程,(1),定义,把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应,的,叫做,渐开线的基圆,.,(2),参数方程,设基圆的半径为,r,，圆的渐开线的参数方程,是,_.,梳理,定圆,思考,知识点二摆线,当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？,答案,答案,摆线,.,梳理,摆线及其参数方程,(1),定义,当一个圆沿着一条定,直线,滚动,时，圆周上,的,的,轨迹叫做平摆线，简称摆线，又,叫做,.,(2),参数方程,设圆的半径为,r,，圆滚动的角为,，那么摆线的参数方程,是,_,无滑动地,一个定点,旋轮线,题型探究,例,1,求半径为,4,的圆的渐开线的参数方程,.,解答,类型一圆的渐开线,设渐开线上的任意点,M,(,x,，,y,),，绳拉直时和圆的切点为,A,，故,OA,AM,，,按,渐开线定义，弧,的,长和线段,AM,的长相等，,记,和,x,轴正向所夹的角为,(,以弧度为单位,),，则,|,AM,|,4,.,作,AB,垂直于,x,轴，过,M,点作,AB,的垂线，由三角函数和向量知识，,(4(cos,sin,),，,4(sin,cos,).,圆的渐开线的参数方程中，字母,r,表示基圆的半径，字母,是指绳子外端运动时绳子上的定点,M,相对于圆心的张角,.,反思与感悟,(,为参数,),，则该基圆半径为,_,，当圆心角,时，曲线上点,A,的直角坐标为,_.,答案,解析,类型二平摆线,答案,解析,圆的方程为,x,2,y,2,9,，,圆的圆心为,(0,0),，半径,r,3,，,(1),摆线的参数方程,摆线的参数方程,为,(,为参数,),，其中,r,：生成圆的半径，,：圆,在直线上滚动时，点,M,绕圆心作圆周运动转过的角度,ABM,.,反思与感悟,(2),将参数,的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离,.,6,6,解析,当,时，,y,3,3cos,6,为拱高；,当,2,时，,x,3,2,3sin 2,6,为跨度,.,答案,解析,当堂训练,答案,2,3,4,1,答案,2,3,4,1,3.,如图所示，四边形,ABCD,是边长为,1,的正方形，曲线,AEFGH,叫做,“,正方形的渐开线,”,，其中,AE,、,EF,、,FG,、,GH,的圆心依次按,B,、,C,、,D,、,A,循环，它们依次相连接，则曲线,AEFGH,的长是,2,3,4,1,答案,解析,A.3,B.4,C.5,D.6,2,3,4,1,所以曲线,AEFGH,的长是,5.,2,3,4,1,解答,解,首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为,4,，,规律与方法,1.,圆的渐开线的参数方程中，字母,r,表示基圆的半径，字母,是指绳子外端运动时绳子上的定点,M,相对于圆心的张角,.,2.,由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程,.,3.,由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示,.,本课结束,
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