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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,4,章 光在各向异性介质中的传播特性,第,4,章 光在各向异性介质中的传播特性,4.1,晶体的光学各向异性,4.2,理想单色平面光波在晶体中的传播,4.3,平面光波在晶体界面上的反射和折射,4.4,晶体光学元件,4.5,晶体的偏光干涉,例题,4.1,晶体的光学各向异性,4.1.1,张量的基础知识,1.,张量的概念,张量是使一个矢量与一个或多个其它矢量相关联的量。例如，矢量,p,与矢量,q,有关,，则其一般关系应为,(4.1 - 1),p,T,q,式中，,T,是关联,p,和,q,的二阶张量。在直角坐标系,O-x,1,x,2,x,3,中，上式可表示为矩阵形式,(4.1 - 2),式中，三个矩阵分别表示矢量,p,、,二阶张量,T,和矢量,q,。,二阶张量有,9,个分量， 每个分量都与一对坐标,(,按一定顺序,),相关。,(4.1-1),式的分量表示式为,(4.1 - 3),其一般分量形式为,(4.1 - 4),按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为,p,i,=,T,ij,q,j,i,j,=1, 2, 3,(4.1 - 5),由上述讨论可以看出，如果,T,是张量，则,p,矢量的某坐标分量不仅与,q,矢量的同一坐标分量有关， 还与其另外两个分量有关。,如果矢量,p,与两个矢量,u,和,v,相关，则其一般关系式为,(4.1-6),分量表示式为,p,i,=,T,ijk,u,j,v,k,i, j, k,=1, 2, 3,(4.1-7),式中，,uv,为并矢；,T,为三阶张量，包含,27,个分量，其矩阵形式为,(4.1-8),实际上，一个标量可以看做是一个零阶张量，一个矢量可以看做是一个一阶张量。从分量的标记方法看， 标量无下标， 矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量,有三个下标。,因此，,下标的数目等于张量的阶数。,2.,张量的变换,如上所述，由于张量的分量与坐标有关，因而当坐标系发生变化时，张量的表示式也将发生变化。假若在原坐标系 中，某张量表示式为,T,ij,，,在新坐标系 中，该张量的表示式为,T,ij,则当原坐标系,O,-,x,1,x,2,x,3,与新坐标系,的坐标变换矩阵为,a,ij,时，与 的关系为,(4.1-9),其分量表示形式为,i, j, k, l,=1, 2, 3,(4.1-10),这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标分量，可通过逆变换得到,(4.1-11),如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式,A,与原坐标系中的表示式,A,间的矩阵变换关系为,(4.1-12),其分量变换公式为,i, j,=1, 2, 3,(4.1-13),3.,对称张量,一个二阶张量,T,ij,，,如果其,T,ij,=,T,ji,，则称为对称张量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主,轴变换时，,二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张量,经上述主轴变换后，,可表示为,最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量， 因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把,张量写在方括号内，,把矩阵写在圆括号内，以示区别。,4.1.2,晶体的介电张量,由电磁场理论已知，介电常数,是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中，电位移矢量,D,与电场矢量,E,满足如下关系：,在此，介电常数,=,0,r,是标量，电位移矢量,D,与电场矢量,E,的方向相同，即,D,矢量的每个分量只与,E,矢量的相应分量线性相关。 对于各向异性介质,(,例如晶体,),，,D,和,E,间的关系为,(4.1 - 15),(4.1 - 14),介电常数,是二阶张量。,(4.1-14),式的分量形式为,i, j,=1, 2, 3,(4.1-16),即电位移矢量,D,的每个分量均与电场矢量,E,的各个分量线性相关。 在一般情况下，,D,与,E,的方向不相同。,又由光的电磁理论，晶体的介电张量,e,是一个对称张量， 因此它有六个独立分量。 经主轴变换后的介电张量是对角张量， 只有三个非零的对角分量， 为,(4.1-17),11,22,33,(,或经常表示为,e,1,、,e,2,、,e,3,),称为主介电系数。由麦克斯韦关系式,还可以相应地定义三个主折射率,n,1,n,2,n,3,。,在主轴坐标系中，,(4.1-16),式可表示为,(4.1-19),(4.1-18),进一步，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系：立方晶系、四方晶系、六方晶系、三方晶系、 正方晶系、单斜晶系、三斜晶系。由于它们的对称性不同， 所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表,4 - 1,所示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主相对介电系数,1,2,3,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主相对介电系数,1,=,2,3,这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，其主相对介电系数,1,=,2,=,3,。,表,4 - 1,各晶系的介电张量矩阵,4.2,理想单色平面光波在晶体中的传播,4.2.1,光在晶体中传播特性的解析法描述,根据光的电磁理论， 光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。,1.,麦克斯韦方程组,在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质,(,晶体,),中， 若没有自由电荷存在，麦克斯韦方,程组为,(4.2 - 1),(4.2 - 2),(4.2-3),(4.2-4),物质方程为,(4.2-5),(4.2-6),为简单起见，我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。 这样处理，可不考虑介质的色散特性，同时，对于任意复杂的光波，因为光场可以通过傅里叶变换分解为许多,不同频率的单色平面光波的叠加，,所以也不失其普遍性。,2.,光波在晶体中传播特性的一般描述,1),单色平面光波在晶体中的传播特性,(1),晶体中光电磁波的结构 设晶体中传播的单色平面光波为,式中， ，是真空中的光速,;,k,是波法线方向的单位矢量；,c/n,=,v,，是介质中单色平面光波的相速度。对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以,-i,代替,，,以,(i,n,/,c,),k,代换算符 。经过运算，,(4.2-1),(4.2-4),式变为,(4.2-7),(4.2 - 8),(4.2 - 9),(4.2 - 10),(4.2 - 11),由这些关系式可以看出：,D,垂直于,H,和,k,，,H,垂直于,E,和,k,，,所以,H,垂直于,E,、,D,、,k,，,因此，,E,、,D,、,k,在垂直于,H,的同一平面内。并且，在一般情况下，,D,和,E,不在同一方向上。, 由能流密度的定义,S=EH,可见，,H,垂直于,E,和,s,(,能流方向上的单位矢量,),，故,E,、,D,、,s,、,k,同在一个平面上，并且在一般情况下，,s,和,k,的方向不同，其间夹角与,E,和,D,之间的夹角相同,(,图,4-1),。,由此，我们可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。,(2),能量密度根据电磁能量密度公式及,(4.2-8),式、,(4.2-9),式， 有,(4.2-12),(4.2-13),图,4-1,平面光波的电磁结构,于是，,总电磁能量密度为,(4.2-15),对于各向同性介质，因,s,与,k,同方向，所以有,(4.2-14),(4.2-16),(3),相速度和光线速度相速度,v,p,是光波等相位面的传播速度，其表示式为,(4.2 - 17),光线速度,v,r,是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度,(,玻印廷矢量,),的方向,s,，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即,(4.2 - 18),由,(4.2-15),(4.2-18),式可以得到,(4.2 - 19),即如图,4-2,所示，单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。,图,4-2,v,p,与,v,r,的关系,(,AB,表示波阵面,),2),光波在晶体中传播特性的描述,(1),晶体光学的基本方程 由麦克斯韦方程组出发，将,(4.2-8),和,(4.2-9),式的,H,消去，可以得到,再利用矢量恒等式,A,(B,C)=B(A,C)-C(A,B),变换为,D=,0,n,2,E-k,(,k,E,),(4.2- 20),式中，方括号,E-k,(,kE,),所表示的量实际上是,E,在垂直于,k,(,即平行于,D,),方向上的分量，记为,E,(,图,4-3),。由此，,(4.2-20),式可以写成,D,=,0,n,2,E,我们还可以将,(4.2-20),式、,(4.2-21),式写成如下所述的另外一种形式。,因为,E,=,E,cos,所以,(4.2 - 22),(4.2 - 23),(4.2 - 21),图,4-3,E,和,D,的定义,根据折射率的定义,可以在形式上定义“光线折射率”,(,或射线折射率、,能流折射率,),n,r,:,(4.2 - 25),由此可将,(4.2-23),式表示为,(4.2 - 26),(4.2 - 27),(4.2 - 24),或,(2),菲涅耳方程为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系，因而物质方程为,D,i,=,0,i,E,i,i,=1, 2, 3, 波法线菲涅耳方程,(,波法线方程,),。将基本方程,(4.2-20),式写成分量形式,D,i,=,0,n,2,E,i,-,k,i,(,kE,),i,=1, 2, 3,(4.2-29),并代入,D,i,i,关系，经过整理可得,(4.2-30),(4.2-28),由于,D,k,=0,，,因而有,将,(4.2-30),式代入后，,得到,(4.2-31),该式描述了在晶体中传播的光波法线方向,k,与相应的折射率,n,和晶体光学参量,(,主介电张量,),e,之间的关系。,(4.2-31),式还可表示为另外一种形式。根据,v,p,=,c/n,，,可以定义三个描述晶体光学性质的主速度：,它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向,x,1,，,x,2,，,x,3,的相速度。由此可将,(4.2-31),式变换为,(4.2-33),(4.2-32),在由,(4.2-31),、,(4.2-33),式得到与每一个波法线方向,k,相应的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向,k,相应的光波,D,和,E,的振动方向，可将,(4.2-3,0),式展开,(4.2-34),将由,(4.2-31),式解出的两个折射率值,n,和,n,分别代入,(4.2-34),式，即可求出相应的两组比值和，从而可以确定出与,n,和,n,分别对应的,E,和,E,的方向。再由物质方程的分量关系求出相应的两组比值和,，从而可以确定出与,n,和,n,分别对应的,D,和,D,的方向。由于相应于,E,、,E,及,D,、,D,的比值均为实数，所以,E,和,D,都是线偏振的。,进而可以证明，相应于每一个波法线方向,k,的两个独立折射率,n,和,n,的电位移矢量,D,和,D,相互垂直。证明过程如下：,利用,(4.2-30),式， 建立,D,和,D,的标量积：,由于,(,n,),2,和,(,n,),2,都是,(4.2-31),式的解，所以上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。 因此，,D,D,=0,由此，可以得到晶体光学性质的又一重要结论：一般情况下，对应于晶体中每一给定的波法线方向,k,，,只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的,D,矢量相互垂直,(,因而振动面相互垂直,),，具有不同的折射率或相速度。 由于,E,、,D,、,s,、,k,四矢量共面，因而这两个线偏振光有不同的光线方向,(,s,和,s,),和光线速度,(,v,r,和,v,r,),。,通常称这两个线偏振光为相应于给定,k,方向的两个可以传播的本征模式，其方向关系如图,4-4,所示。,(4.2-35),图,4-4,与给定的,k,相应的,D,、,E,和,s, 光线菲涅耳方程,(,光线方程,),。上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线方向,k,上，特许的两个线偏振光,(,本征模式,),的折射率,(,或相速度,),和偏振态。类似地，也可以得到确定相应于光线方向为,s,的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程,光线菲涅耳方程,(,射线菲涅耳方程、光线方程,),。该方程是由,(4.2-27),式出发推导出的，推导过程从略，下面只给出具体结果：,(4.2-36),或,(4.2-37),(4.2-36),式和,(4.2-37),式描述了在晶体中传播的光线方向,s,与相应的,光线折射率,n,r,、,光线速度,v,r,和晶体的光学参量,e,、,主速度,v,1,、,v,2,、,v,3,之间的关系。,类似前面的讨论可以得出如下结论：在给定的晶体中， 相应于每一个光线方向,s,，,只允许有两个特定振动方向的线偏振光,(,两个本征模式,),传播，这两个光的,E,矢量相互垂直,(,因而振动面相互垂直,),，并且，在一般情况下，有不同的光线速度、不同的波法线方向和不同的折射率。,最后，注意到,(4.2-20),式和,(4.2-27),式在形式上的相似性， 可以得到如下两行对应的变量：,(4.2-38),如果任何一个关系式在,(4.2-38),式关系中某一行的诸量成立，则将该关系式中的各量用,(4.2-38),式对应关系中的另一行相应量代替，就可以得到相应的另一个有效的关系式。应用这一规则，,(4.2-36),式和,(4.2-37),式分别可以由,(4.2-31),式和,(4.2-33),式直接通过变量代换得出。 并且，无论是根据波法线方程,(4.2-31),式、,(4.2-33),式，还是根据光线方程,(4.2-36),式、,(4.2-37),式，都可以同样地完成光在晶体中传播规律的研究。,3.,光在几类特殊晶体中的传播规律,上面从麦克斯韦方程组出发，直接推出了光波在晶体中传播的各向异性特性，并未涉及具体晶体的光学性质。下面， 结合几类特殊晶体的具体光学特性，从晶体光学的基本方程出发， 讨论光波在其中传播的具体规律。,1),各向同性介质或立方晶体,各向同性介质或立方晶体的主介电系数,1,=,2,=,3,=,n,0,2,。,根据前面讨论的有关确定晶体中光波传播特性的思路， 将波法线菲涅耳方程,(4.2-31),式通分、整理,得到,代入,1,=,2,=,3,=,n,2,0,，,并注意到,k,2,1,+,k,2,2,+,k,2,3,=1,，,该式简化为,(4.2-39),由此得到重根,n,=,n,=,n,0,。,这就是说，在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率,n,0,，,或者说，光波折射率与传播方向无关。,进一步，把,n,=,n,=,n,0,的结果代入,(4.2-34),式，可以得到三个完全相同的关系,式,k,1,E,1,+,k,2,E,2,+,k,3,E,3,=0,(4.2-40),此式即为,k,E,=0,。它表明，光电场矢量,E,与波法线方向垂直。因此，,E,平行于,D,，,s,平行于,k,。所以，在各向同性介质或立方,晶体中传播的光波电场结构如图,4-5,所示。由于,(4.2-40),式只限定了,E,垂直于,k,，而对,E,的方向没有约束，因而在各向同性介质或立方晶体中沿任意方向传播的光波，允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态,(,二偏振方向正交,),，相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。,图,4-5,各向同性介质中,D, E, k, s,的关系,2),单轴晶体,单轴晶体的主相对介电系数为,(4.2 -,41),其中，,n,e,n,o,的晶体，称为正单轴晶体；,n,e,n,o,时，称为负单轴晶体。,(1),两种特许线偏振光波,(,本征模式,),为讨论方便起见，取,k,在,x,2,Ox,3,平面内，并与,x,3,轴夹角为,，,则,k,1,=0,k,2,=sin,k,3,=,cos,(4.2 -,42),将,(4.2-41),式和,(4.2-42),式的关系代入,(4.2-31),式，得到,即,(4.2-43),该方程有两个解,(4.2-44),(4.2-45),第一个解,n,与光的传播方向无关，与之相应的光波称为寻常光波,(,正常光波,),，简称,o,光。第二个解,n,与光的传播方向有关，随,变化，相应的光波称为异常光波,(,非寻常光波、非常光波,),， 简称,e,光。对于,e,光，当,=/2,时，,n,=,n,e,;,当,=0,时，,n,=,n,o,。,可见，当,k,与,x,3,轴方向一致时，光的传播特性如同在各向同性介质中一样，,n,=,n,=,n,o,，并因此把,x,3,轴这个特殊,方向称为光轴。因为在这种晶体中只有,x,3,轴一个方向是光轴，所以称之为单轴晶体。,下面确定两种光波的偏振态。, 寻常光波。将,n,=,n,=,n,o,及,k,1,=0,k,2,=sin,k,3,=,cos,代入,(4.2-34),式,， 得到,(4.2-46),第一式中，因系数为零，所以,E,1,有非零解；第二、 三式中，因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐次方程，此时，只可能是,E,2,=,E,3,=0,。因此，,o,光的,E,平行于,x,1,轴，有,E,=,E,1,i,。对于一,般的,k,方向，,o,光的,E,垂直于,k,与光轴,(,x,3,),所决定的平面。又由于,D,=,o,n,2,o,E,，所以,o,光的,D,矢量与,E,矢量平行。, 异常光波。 将,n,=,n,及,k,1,=0,，,k,2,=,sin,，,k,3,=,cos,代入,(4.2-34),式，得到,(4.2-47),在第一式中，因系数不为零，只可能是,E,1,=0,；在第二、三式中，因系数行列式等于零，,E,2,和,E,3,有非零解。可见，,e,光的,E,矢量位于,x,2,Ox,3,平面内。对于一般的,k,方向，,e,光的,E,矢量位于,k,矢量与光轴,(,x,3,),所确定的平面内。同时，由于,D,1,=,0,1,E,1,=0,，因而,D,矢量也在,x,2,Ox,3,平面内，但不与,E,矢量平行。另外，,e,光的,s,矢量、,k,矢量和光轴共面，但,s,与,k,不平行。仅当,=/2,时，,E,2,=0,E,矢量与光轴平行，此时，,D,E,k,s,，相应的折射率为,n,e,。,综上所述，在单轴晶体中，存在两种特许偏振方向的光波,(,本征模式,),：,o,光和,e,光。对应于某一波法线方向,k,有两条光线：,o,光的光线,s,o,和,e,光的光线,s,e,，如图,4-6,所示。这两种光波的,E,矢量,(,和,D,矢量,),彼此垂直。对于,o,光，,E,矢量和,D,矢量总是平行，并且垂直于波法线,k,与光轴所确定的平面；折射率不依赖于,k,的方向；光线方向,s,o,与波法线方向重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性一样，所以称为寻常光波。对于,e,光，其折射率随,k,矢量的方向改变；,E,矢量与,D,矢量一般不平行，并且都在波法线,k,与光轴所确定的平面内，它们与光轴的夹角随着,k,的方向改变；折射率随,k,矢量的方向变化；光线方向,s,e,与波法线方向不重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性不一样，所以称为异常光波或非常光波。,图,4-6,单轴晶体中的,o,光和,e,光,(2) e,光的波法线方向和光线方向由上分析已知，单轴晶体中,e,光波法线方向与光线方向之间存在着一个夹角，通常称为离散角。确定这个角度，对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。因此，下面对该角度问题进行较详细的讨论。,由光的电磁理论，相应于同一,e,光光波的,E, D, s, k,均在垂直于,H,的同一平面内。若取图,4-6,中的,x,3,轴为光轴，,E, D, s, k,均在主截面,x,2,Ox,3,平面内，,k,与,x,3,轴的夹角为,s,与,z,轴的夹角为,j,，,且所取坐标系为单轴晶体的主轴坐标系， 则有,因而有,(4.2-49),根据图,4-6,中的几何关系，有,(4.2-50),(4.2-48),将,(4.2-49),式中的两个式子相除， 并利用,(4.2-50),式， 可得,(4.2-51),进一步，根据离散角,的定义，应有如下关系：,(4.2-52),将,(4.2-51),式代入， 整理可得,(4.2-53),由该式可见：, 当,=0,或,90,，即光波法线方向,k,平行或垂直于光轴时，,=0,。,这时，,s,与,k,、,E,与,D,方向重合。,n,o,0,，,e,光的光线较其波法线靠近光轴；对于负单轴晶体，,n,e,n,o,0,，,e,光的光线较其波法线远离光,轴。, 可以证明，当,k,与光轴间的夹角,满足 ,(4.2-54),时，有最大离散角,(4.2-55),证明如下：,将,=,-,j,对,求导， 可得,由,(4.2-51),式，有,为得到最大离散角,M,，应令,d,/d,=0,，即,由此得到下面的方程：,求解该方程可得：,将该式代入,(4.2-51),式，并由,(4.2-52),式求出最大离散角为,在实际应用中，经常要求晶体元件工作在最大离散角的情况下，同时满足正入射条件,，这就应当如图,4 - 7,所示， 使通光面,(,晶面,),与光轴的夹角,=90,满足,(4.2-56),图,4 7,实际的晶体元件方向,3),双轴晶体,双轴晶体的三个主相对介电系数都不相等，即,1,2,3,因而,n,1,n,2,n,3,。,通常主相对介电系数按,1,2,n,o,，则称为正单轴晶体,(,如石英晶体,),，折射率椭球是沿着,x,3,轴拉长了的旋转椭球； 若,n,e,n,o,，则称为负,单轴晶体,(,如方解石晶体,),， 折射率椭球是沿着,x,3,轴压扁了的旋转椭球。,设晶体内一平面光波的,k,与,x,3,轴夹角为,，,则过椭球中心作垂直于,k,的平面,(,k,),与椭球的交线必定是一个椭圆,(,图,4-13),。其截线方程可用下述方法得到：由于旋转椭球的,x,1,(,x,2,),轴的任意性， 可以假设,(,k,，,x,3,),面为,x,2,Ox,3,平面。若建立新的坐标系,O-x,1,x,2,x,3,，使,x,3,轴与,k,重合，,x,1,轴与,x,1,轴重合，则,x,2,轴在,x,2,Ox,3,平面内。这时，,(,k,),截面即为,x,1,O,x,2,面，其方程为,(4.2-78),新旧坐标系的变换关系为,(,图,4 - 14),图,4 - 13,单轴晶体折射率椭球作图法,图,4 - 14,两个坐标系的关系,将上面关系代入,(4.2-77),式，再与,(4.2-78),式联立， 就有,经过整理，可得出截线方程为,(4.2-79),其中,(4.2-80),或表示为,(4.2-81),下面讨论两种特殊情况：,=0,时，,k,与,x,3,轴重合，这时，,n,e,=,n,o,，,中,心截面与椭球的截线方程为,这是一个半径为,n,o,的圆。可见，沿,x,3,轴方向传播的光波折射率为,n,o,，,D,矢量的振动方向除与,x,3,轴垂直外，没有其它约束，即沿,x,3,轴方向传播的光可以允许任意偏振方向，且折射率均为,n,o,，故,x,3,轴为光轴。因为这类晶体只有,一个光轴，所以称为单轴晶体。,(4.2-82),=/2,时，,k,与,x,3,轴垂直，这时，,n,e,=,n,e,e,光的,D,与,x,3,轴平行。中心截面与椭球的截线方程为,(4.2-83),由于折射率椭球是旋转椭球，,x,1,、,x,2,坐标轴可任意选取，所以包含,x,3,轴的中心截面都可选作,x,3,Ox,1,平面,(,或,x,3,Ox,2,平面,),。对于正单轴晶体，,e,光有最大折射率；而对于负单轴晶体，,e,光有最小折射率。 运用图,4-12,所示的几何作图法,，可以得到,D,E, k,s,。,(3),双轴晶体, 双轴晶体中的光轴。对于双轴晶体，介电张量的三个主介电系数不相等，即,1,2,3,，,因而,n,1,n,2,n,3,，,所以折射率椭球方程为,(4.2-84),若约定,n,1,n,2,n,3,，则折射率椭球与,x,1,Ox,3,平面的交线是椭圆,(,图,4- 15),，,它的方程为,(4.2-85),图,4-15,双轴晶体折射率椭球在,x,1,Ox,3,面上的截线,式中，,n,1,和,n,3,分别是最短、最长的主半轴。若椭圆上任意一点的矢径,r,与,x,1,轴的夹角为,，,长度为,n,，,则,(4.2-85),式可以写成,或,(4.2-86),n,的大小随着,在,n,1,和,n,3,之间变化。由于,n,1,n,2,n,o,，,球面内切于椭球；对于负单轴晶体，,n,e,n,o,，,球面外切于椭球。两种情况的切点均在,x,3,轴上，故,x,3,轴为光轴。当与,x,3,轴夹角为,的波法线方向,k,与折射率曲面相交时， 得到长度为,n,o,和,n,e,(,),的矢径，它们分别是相应于,k,方向的两个特许线偏振光的折射率,，其中,n,e,(,),可,由,(4.2-98),式求出：,图,4-20,单轴晶体折射率曲面,(,a,),正单轴晶体；,(,b,),负单轴晶体,对于双轴晶体，,n,1,n,2,n,3, (4.2-95),式所示的四次曲面在三个主轴截,面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆，它们的方程分别是：,x,2,Ox,3,面,x,3,Ox,1,面,x,1,Ox,2,面,(4.2-100),(4.2-99),按约定，,n,1,n,2,n,3,，则三个主轴截面上的截线可以表示如图,4-21,所示。折射率曲面的两个壳层仅有四个交点，就是,x,3,Ox,1,截面上的四个交点，在三维示意图中可以看出四个“脐窝”。,图,4-21,双轴晶体的折射率曲面在三个主轴截面上的截线,图,4 - 22,双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图,根据光轴方向为二特许线偏振光折射率相等的,k,方向的定义， 双轴晶体的光轴在,x,3,Ox,1,面内，如图,4-21,所示，是两个壳层的交点与原点的连线,OA,和,OA,方向。,可以证明，折射率曲面在任一矢径末端处的法线方向，即与该矢径所代表的波法线方向,k,相应的光线方向,s,。,应注意，折射率曲面虽然可以将任一给定,k,方向所对应的两个折射率直接表示出来，但它表示不出相应的两个光的偏振方向。因此，与折射率椭球相比，折射率曲面对于光在界面上的折射、反射问题讨论比较方便，而折射率椭球用于处理偏振效应的问题比较,方便。,对于折射率曲面，如果将其矢径长度乘以,/c,，,则构成一个新曲面的矢径,r,=(,n,c,),k,，,这个曲面称为波矢曲面，通常记为,(,k,k,),曲面,。,3.,菲涅耳椭球,上面讨论的折射率椭球和折射率曲面都是相对波法线方向,k,而言的。由于晶体中的,k,与,s,可能分离，而在有些应用中给定的是,s,方向，因而利用相对,s,而言的曲面讨论光的传播规律比较方便。菲涅耳椭球就是相对光线方向,s,引入的几何曲面。,由折射率椭球方程,(4.2-65),出发，利用,(4.2-38),式的矢量对应关系，可,得,(4.2-101),式中，,v,r1,、,v,r2,、,v,r3,表示三个主轴方向上的光线主速度。这个方程就是用来描述光在晶体中传播特性的菲涅耳椭球。在描述光的传播特性时， 它与折射率椭球的作图方法完全相同，只是以光线方向,s,取代波法线方向,k,。,对于任一给定的光线方向,s,，,过菲涅耳椭球中心作垂直于,s,的平面，它与菲涅耳椭球相交，其截线为椭圆，该椭圆的长、短轴方向表示与,s,方向相应的二特许线偏振光电场强度,E,的振动方向，半轴长度表示该二光的光线速度。 如果把长、短,半轴矢径记作,r,a,(,s,),和,r,b,(,s,),，,则,(4.2-102),(4.2-103),(4.2-103),式中，,e,表示与光线方向,s,相应的,E,矢量振动方向上的单位矢量。,菲涅耳椭球可记为,(,e,v,r,),曲面。,4.,射线曲面,射线曲面是和折射率曲面相对应的几何图形，它描述与晶体中光线方向,s,相应的两个光线速度的分布。射线曲面上的矢径方向平行于给定的,s,方向， 矢径的长度等于相应的两个光线速度,v,r,，,因此可简记为,(,s,v,r,),曲面。实际上，射线曲面就是在晶体中完全包住一个单色点光源的波面。,射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程就是,(4.2-37),式，现重写如下：,(4.2-104),在形式上， 它与折射率曲面方程,(4.2
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