第二高斯消元法及其计算机实现-ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 高斯消元法及其计算机实现,第五章 解线性代数方程组的直接方法,第一节 求解线性代数方程组的基本定理,线性代数方程组的一般形式,第一节 求解线性代数方程组的基本定理,MATLAB实现:x=Ab,数值求解方法有以下三条途径（三种框架）,直接法：利用Gauss,消元或矩阵分解，通过有限次运算,可求出精确解。,迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限,次迭代过程求解。有限次截断得近似解。,极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次,模函数的极小化问题，即变分法（经n,次运算，理论上得精确解）要求A,对称正定(S.P.D),第二节 高斯消元法及其计算机实现,A b,U g,三角形方程组包括上三角形方程组和下三角形方程组，是最简单的线性方程组之一。上三角方程组的一般形式是,：,一、三角形方程组的解法,为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先解出,x,n,=b,n,/a,nn,然后按方程由后向前的顺序，从方程中依次解出,x,n-1,x,n-2,x,1,。,这样就完成了上三角方程组的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步骤如下：,高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得到的选主元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将,一般线性方程组,的求解问题转化为,三角方程组,的求解问题。,高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为,“,消,元,”过程,;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,称之为,“回代”过程.,高斯,“,消,元,”过程,可通过矩阵运算来实现。具体过程如下：,二、高斯消元法,解：,将方程组,Ax,=,b,的系数矩阵与右端项合并为,进行到第,k,步消元时,用回代过程求解上三角方程组，即可得解向量,(,x,1,*,x,2,*,x,n,*,),T,.,求解的全过程包括两个步骤：消元和回代,1.顺序消元,2.回代求解,消元过程全部完成后，原来的二维数组中存放的元素实际上是一个新的矩阵，记为,选主元基本思想,用高斯消元法求解线性方程组时,为避免小的主元.在进行第,k,步消元前,应该在第k列元素,(,i=k,n,)中找出第一个出现的绝对值最大者,例如 ，再把第,i,k,个方程与第,k,个方程组进行交换,使,成为主元.我们称这个过程为选主元.由于只在第k列元素中选主元,通常也称为,按列选主元,.,如果在第,k,步消元前,在第,k,个方程到第n个方程所有的,x,k,到,x,n,的系数 (,i=k,n;j=k,n,)中,找出绝对值最大者,例如,三、选主元,高斯消元法,再交换第,k,ik,两个方程和第,k,jk,列,使 成为主元.称这个过程为,完全选主元,.,不论是哪种方式选出主元,而后再按上面介绍的计 算步,骤进行消元的计算,一般都称为选主元的高斯消元法.在,实际计算中,常用按列选主元的高斯消元法.,算法,列主元高斯消元法解线性方程组,Ax=b,具体执行行交换要通过工作单元 T,。,假设求解是在四位浮点十进制数的计算机上进行,0.0001,x,1,+,x,2,=1,x,1,+,x,2,=2,将两个方程对调，得,x,1,+,x,2,=2,0.0001,x,1,+,x,2,=1,在四位浮点十进制数的计算机上,上式为,x,1,+,x,2,=2 即,x,1,+,x,2,=2,(0.100010,1,-0.00001 10,1,x,2,=1,x,2,=1,（1-0.0001),x,2,=1,x,1,+,x,2,=2,消元，得,解得：,x,1,=1，,x,2,=1,现在我们再用列主元法解例4,例5,用列主元消去法解方程组,解,第一次消元对,因列主元素为,a,31,(1),故先作行交换E,1,E,3,然后进行消元计算可得,-0.002,x,1,+2,x,2,+2,x,3,=0.4,x,1,+0.78125,x,2,=1.3816,3.996,x,1,+5.5625,x,2,+4,x,3,=7.4178,-0.002 2 2 0.4,A,(1),|,b,(1),=1 0.78125 0 1.3816,3.996 5.5625 4 7.4178,3.996 5.5625 4 7.4178,A,(2),|,b,(2),=0 -0.61077 -1.0010 -0.47471,0 2.0029 2.0020 0.40371,由此回代,得,x,=(1.9272,-0.69841,0.90038),T,与精确解,x,=(1.9273,-0.69850,0.90042),T,相比较是比较准确的.,3.996 5.5625 4 7.4178,A,(3),|,b,(3),=0 2.0029 2.0020 0.40371,0 0 -0.39050 -0.35160,第二次消元对,A,(2),|,b,(2),因列主元素为,a,32,(2),故先作行交换E,2,E,3,然后进行消元计算可得,