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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),2.5幂函数、函数与方程,1,1.,(2017江苏,14,5分)设,f,(,x,)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上,f,(,x,)=,其中集,合,D,=,则方程f(x)-lg,x,=0的解的个数是,.,A,组 自主命题江苏卷题组,五年高考,答案,8,2,解析,解法一:由于,f,(,x,)0,1),则只需考虑1,x,10的情况,在此范围内,x,Q且,x,Z时,设,x,=,p,q,N,*,p,2且,p,q,互质,若lg,x,Q,则由lg,x,0,1),可设lg,x,=,m,n,N,*,m,2且,m,n,互质,因此1,=,则10,n,=,此时等号左边为整数,等号右边为非整数,矛盾.因此lg,x,Q,因此lg,x,不可能与每个周期内,x,D,对应的部分相等,只需考虑lg,x,与每个周期内,x,D,对应的部分的交点.,画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且,x,=1处(lg,x,)=,=,0)图象上一动点.若,点,P,A,之间的最短距离为2,则满足条件的实数,a,的所有值为,.,答案,-1,解析,设,P,则|,PA,|,2,=(,x,-,a,),2,+,=,-2,a,+2,a,2,-2,令,t,=,x,+,2(,x,0,当且仅当,x,=1时取“=”),则|,PA,|,2,=,t,2,-2,at,+2,a,2,-2.,(1)当,a,2时,(|,PA,|,2,),min,=2,2,-2,a,2+2,a,2,-2=2,a,2,-4,a,+2,由题意知,2,a,2,-4,a,+2=8,解得,a,=-1或,a,=3(舍).,(2)当,a,2时,(|,PA,|,2,),min,=,a,2,-2,a,a,+2,a,2,-2=,a,2,-2.,由题意知,a,2,-2=8,解得,a,=,或,a,=-,(舍),综上,a,=-1或,.,5,3.,(2014江苏,13,5分,0.48)已知,f,(,x,)是定义在R上且周期为3的函数,当,x,0,3)时,f,(,x,)=,.,若函数,y,=,f,(,x,)-,a,在区间-3,4上有10个零点(互不相同),则实数,a,的取值范围是,.,答案,解析,当,x,0,3)时,f,(,x,)=,=,由,f,(,x,)是周期为3的函数,作出,f,(,x,)在-3,4上的图,象,如图.,由题意知方程,a,=,f,(,x,)在-3,4上有10个不同的根.,由图可知,a,.,6,4.,(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数,f,(,x,)=|ln,x,|,g,(,x,)=,则方程|,f,(,x,)+,g,(,x,)|=1实根的个数,为,.,答案,4,解析,由|,f,(,x,)+,g,(,x,)|=1可得,f,(,x,)+,g,(,x,)=,1,即,g,(,x,)=-,f,(,x,),1,则原问题等价于函数,y,=,g,(,x,)与,y,=-,f,(,x,)+1或,y,=,g,(,x,)与,y,=-,f,(,x,)-1的图象的交点个数问题,在同一坐标系中作出,y,=,g,(,x,),y,=-,f,(,x,)+1及,y,=-,f,(,x,)-1的图象,如图:,由图可知,函数,y,=,g,(,x,)的图象与函数,y,=-,f,(,x,)+1的图象有2个交点,与函数,y,=-,f,(,x,)-1的图象有2个交,点,则方程|,f,(,x,)+,g,(,x,)|=1实根的个数为4.,7,考点一二次函数与幂函数,1.,(2017北京文,11,5分)已知,x,0,y,0,且,x,+,y,=1,则,x,2,+,y,2,的取值范围是,.,B组统一命题省(区、市)卷题组,答案,解析,由题意知,y,=1-,x,y,0,x,0,0,x,1,则,x,2,+,y,2,=,x,2,+(1-,x,),2,=2,x,2,-2,x,+1=2,+,.,当,x,=,时,x,2,+,y,2,取最小值,当,x,=0或,x,=1时,x,2,+,y,2,取最大值1,x,2,+,y,2,.,8,2.,(2016课标全国理改编,6,5分)已知,a,=,b,=,c,=2,则以下关系正确的是,.,b,a,c,;,a,b,c,;,b,c,a,;,c,a,b,.,答案,解析,因为,a,=,=,c,=2,=,函数,y,=,在(0,+,)上单调递增,所以,即,a,c,又因为函数,y,=4,x,在R上单调递增,所以,即,b,a,所以,b,a,c,.,方法总结,指数的比较大小的问题往往利用函数的性质及图象来解决.,评析,本题主要考查指数的大小比较,属中档题.,3.,(2015四川改编,9,5分)如果函数,f,(,x,)=,(,m,-2),x,2,+(,n,-8),x,+1(,m,0,n,0)在区间,上单调递减,那,么,mn,的最大值为,.,答案,18,9,解析,当,m,=2时,f,(,x,)=(,n,-8),x,+1在区间,上单调递减,则,n,-80,n,8,于是,mn,16,则,mn,无最大,值.当,m,0,2)时,f,(,x,)的图象开口向下且过点(0,1),要使,f,(,x,)在区间,上单调递减,需-,即2,n,+,m,18,又,n,0,则,mn,m,=-,m,2,+9,m,.而,g,(,m,)=-,m,2,+9,m,在0,2)上为增函数,m,0,2)时,g,(,m,)2时,f,(,x,)的图象开口向上且过点(0,1),要使,f,(,x,)在区间,上单调递减,需-,2,即2,m,+,n,12,而2,m,+,n,2,所以,mn,18,当且仅当,即,时,取“=”,此时满足,m,2.故,(,mn,),max,=18.,综上可得,(,mn,),max,=18.,评析,本题考查了二次函数的图象与性质、基本不等式.考查学生分析问题与解决问题的能力.,考查转化与化归的数学思想.,10,4.,(2014辽宁,16,5分)对于,c,0,当非零实数,a,b,满足4,a,2,-2,ab,+4,b,2,-,c,=0且使|2,a,+,b,|最大时,-,+,的最,小值为,.,答案,-2,解析,设2,a,+,b,=,t,则2,a,=,t,-,b,由已知得关于,b,的方程(,t,-,b,),2,-,b,(,t,-,b,)+4,b,2,-,c,=0有解,即6,b,2,-3,tb,+,t,2,-,c,=0有解.,故,=9,t,2,-24(,t,2,-,c,),0,所以,t,2,c,所以|,t,|,max,=,此时,c,=,t,2,b,=,t,2,a,=,t,-,b,=,所以,a,=,.,故,-,+,=,-,+,=8,=8,-2,-2.,11,5.,(2016浙江理,18,15分)已知,a,3,函数,F,(,x,)=min2|,x,-1|,x,2,-2,ax,+4,a,-2,其中min,p,q,=,(1)求使得等式,F,(,x,)=,x,2,-2,ax,+4,a,-2成立的,x,的取值范围;,(2)(i)求,F,(,x,)的最小值,m,(,a,);,(ii)求,F,(,x,)在区间0,6上的最大值,M,(,a,).,解析,(1)由于,a,3,故,当,x,1时,(,x,2,-2,ax,+4,a,-2)-2|,x,-1|=,x,2,+2(,a,-1)(2-,x,)0,当,x,1时,(,x,2,-2,ax,+4,a,-2)-2|,x,-1|=(,x,-2)(,x,-2,a,).,所以,使得等式,F,(,x,)=,x,2,-2,ax,+4,a,-2成立的,x,的取值范围为2,2,a,.,(2)(i)设函数,f,(,x,)=2|,x,-1|,g,(,x,)=,x,2,-2,ax,+4,a,-2,则,f,(,x,),min,=,f,(1)=0,g,(,x,),min,=,g,(,a,)=-,a,2,+4,a,-2,所以,由,F,(,x,)的定义知,m,(,a,)=min,f,(1),g,(,a,),即,m,(,a,)=,(ii)当0,x,2时,F,(,x,),f,(,x,),max,f,(0),f,(2)=2=,F,(2),当2,x,6时,F,(,x,),g,(,x,),max,g,(2),g,(6)=max2,34-8,a,=max,F,(2),F,(6).,所以,M,(,a,)=,12,思路分析,(1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分,别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.,评析,本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理,论证能力,分析问题和解决问题的能力.,考点二函数的零点与方程的根,1.,(2017山东理改编,10,5分)已知当,x,0,1时,函数,y,=(,mx,-1),2,的图象与,y,=,+,m,的图象有且只有一,个交点,则正实数,m,的取值范围是,.,答案,(0,1,3,+,),解析,当,01时,在同一平面直角坐标系中作出函数,y,=(,mx,-1),2,与,y,=,+,m,的图象,如图.,要满足题意,则(,m,-1),2,1+,m,解得,m,3或,m,0(舍去),m,3.,综上,正实数,m,的取值范围为(0,1,3,+,).,方法总结,已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法:,直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数的,值或取值范围.,分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决.,数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.,14,2.,(2017课标全国理改编,11,5分)已知函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,+,a,(e,x,-1,+e,-,x,+1,)有唯一零点,则,a,=,.,答案,解析,由函数,f,(,x,)有零点得,x,2,-2,x,+,a,(e,x,-1,+e,-,x,+1,)=0有解,即(,x,-1),2,-1+,a,(e,x,-1,+e,-,x,+1,)=0有解,令,t,=,x,-1,则上式可化为,t,2,-1+,a,(e,t,+e,-,t,)=0,即,a,=,.,令,h,(,t,)=,易得,h,(,t,)为偶函数,又由,f,(,x,)有唯一零点得函数,h,(,t,)的图象与直线,y,=,a,有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以,a,=,=,.,15,3.,(2016山东,15,5分)已知函数,f,(,x,)=,其中,m,0.若存在实数,b,使得关于,x,的方,程,f,(,x,)=,b,有三个不同的根,则,m,的取值范围是,.,答案,(3,+,),解析,f,(,x,)的图象如图所示,若存在实数,b,使得关于,x,的方程,f,(,x,)=,b,有三个不同的根,只需4,m,-,m,2,3或,m,0,所以,m,3.,方法总结,分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想,方法来解决.,评析,本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题.,16,4.,(2016天津,14,5分)已知函数,f,(,x,)=,(,a,0,且,a,1)在R上单调递减,且关于,x,的方程|,f,(,x,)|=2-,恰有两个不相等的实数解,则,a,的取值范围是,.,答案,解析,函数,f,(,x,)在R上单调递减,解得,a,.,在同一直角坐标系下作出函数,y,=|,f,(,x,)|与,y,=2-,的图象,如图所示.,17,方程|,f,(,x,)|=2-,恰有两个不相等的实数解等价于,y,=|,f,(,x,)|的图象与,y,=2-,的图象恰有两个交点,则,需满足3,a,2,得,a,综上可知,a,.,易错警示,(1),f,(,x,)在R上单调递减,需满足,缺少条件是失分的一个原因;,(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的,问题是解决这类问题常用的方法.
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