数学史第五章+几何学的发展

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 几何学的发展,形的认识,形是人类对生存空间形式的直接认识 从无规则图形逐渐制造出一些规则的形体，形成抽象意义下的几何图形。,图,5.1,由鱼形演化出的不规则的几何图形,从立体图形到平面图形,图腾崇拜和宗教礼仪,5.2,测量与几何,在几何发展最早的古代埃及，几何一词具有“土地测量”的含义。在古希腊几何学传入中国之后，汉字用几何一词来称谓这门学科，而汉语中“几何”具有“多少”的意思。,5.2.1,经验公式,古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的方法,三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示,圆面积的计算公式是,A,=(8,d,/9)2,，其中,d,是直径。这就等于取,为,3.1605,。,四边形的面积公式：（,a,+,c,）（,b,+,d,）,/4,（其中,a,、,b,、,c,、,d,依次表示边长）。,高为,h,、底边长为,a,和,b,的方棱锥的平头截体的体积公式：,V,=(1/3),h,(,a,2+,ab,+,b,2),5.2.2,求积方法,勾股术与图证,“,析理以辞，解体,用图”,“,弦图”,大方,=,弦方,+2,矩形，（,1,）,大方,=,勾方,+,股方,+2,矩形，（,2,）,比较（,1,）与（,2,），得,弦方,=,勾方,+,股方。,图,5.5,伏羲手持规，女娲手持矩,阿基米德的双重方法,用力学原理发现公式，再用穷竭法加以证明,如图,5.11,抛物线有内接,三角形,PQq,，其中,P,与,Qp,中点,V,的连线平行于抛,物线的轴。阿基米德从,物理的方法发现：抛物线被,Qp,截得的抛物线弓形的面积，与三角形,QPq,的面积之比是,4,：,3,。阿基米德进而使用穷竭法证明,图,5.11,阿基米德的双,重,方法,求面积,5.2.3,多边形数,最早的演绎几何学,几何原本,（约公元前,300,年，古希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学理论体系,几何学。标志着人类科学研究的公理化方法的初步形成，,几何原本,共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我们今天熟知的平面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证的）初等代数知识。全书证明了,465,个命题。,5.3.1,原本,的公理化体系,原本,的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理,(465,个命题,),。使整个几何知识形成了一个演绎体系,公设：（,1,）从任一点到任一点作直线是可能的。（,2,）把有限直线不断循直线延长是可能的。（注意，这里所谓的直线，相当于今天我们所说的线段。）（,3,）以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。（,4,）所有直角彼此相等。（,5,）若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点（现今称为平行公理）。,公理：,（,1,）跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。,（,2,）等量加等量，总量仍相等。,（,3,）等量减等量，余量仍相等。,（,4,）彼此重合的东西是相等的。,（,5,）整体大于部分。,从现代公理化方法的角度来分析，,原本,的公理化体系,存在着以下一些缺陷。,没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上,原本,的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念,.,但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的,例如,每一个三角形都是等腰的“证明”,插入图,5.18,5.3.2 ,原本,中的几何方法,原本,在证明相关结论中使用了多种几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式的几何证法,等等。这些方法是人类早期研究图形性质的数学方法，在现代基础教育中仍发挥着积极的作用。,举例如下：,毕德哥拉斯定理，,原本,使用几何的证法如下：,如图,5.19,，先证明,ABD,FBC,，,推得矩形,BL,与正方形,GB,等积。同理推得矩形,CL,与正方形,AK,等积。,5.4,三大作图问题与,圆锥曲线,三个作图问题：,倍立方，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍；,三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分；,化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。,直到,19,世纪，才证实了只用圆规和直尺来求解这三个作图题的不可能性，然而对这三个问题的深入探索引出大量的发现。,其中包括,圆锥曲线理论,梅内克缪斯（约公元前,4,世纪）最先发现了圆锥曲线：,插入图,5.24,阿波罗尼斯的,圆锥曲线论,将圆锥曲线的性质全部囊括,其中圆锥曲线的定义方法如下：,插入图,5.25,5.5,坐标几何与曲线方程思想,17,世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几何方法的局限性，认识到利用代数方法来研究几何问题，是改变传统方法的有效途径。并为此开始了各自的研究工作，把代数方程和曲线、曲面的研究联系在一起,笛卡尔的工作,几何学,是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果,首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图,实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未知长度,x,，经过代数运算知道,x,满足,x,=,，,他画出,x,的方法如下：如图,5.27,作直角三角形,NLM,，其中,LM=b,NL=a,/2,延长,MN,到,O,，,使,NO,=,NL,=,a,/2,。于是,x,就是,OM,的长度。,插入图,5.27,曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的,含,x,和,y,有限次代数方程来表示的曲线,费马的工作,费马关于曲线与方程的思想，源于对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。他使用了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数表述式。,5.6,罗巴切夫斯基几何学,在欧几里得几何学中第五公设（即平行公理）的研究过程中，人们不自觉地将得到了许多第五公设的等价命题。发现了罗巴切夫斯基几何学,5.6.1,第五公设及其等价命题,等价命题,普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等于两个直角；,每个三角形的内角和都相同；,通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截线；,存在两个相似而不全等的三角形；,毕达哥拉斯定理；,过不在一直线上的三点可作一圆；,圆内接正六边形的一边等于此圆的半径；,四边形的内角和等于四个直角；,一。,个等价命题的证明：如果任意三角形内角和都等于,，那么过线,a,外一点,A,只能引进一条直线与,a,不交。,证明,过,A,引,a,的垂线,AB,，并过,A,引,AB,的垂线,b,，则,a,与,b,必定不交。,假如另有一条直线,AC,与,a,不交，记锐角,BAC,为,，在直线,a,上取点,B,1,，使,B,1,、,C,在,AB,同侧，且使,AB,1,B,=,。,按假设，直角,ABB,1,内角和等于,，所以,B,1,AB,=,a,CAB,=,，（因为,）。,于是，作得一个,ABB,1,而直线,AC,经过其内部，所以,AC,必与底边,BB,1,相交。这与,AC,与,a,不相交的假设矛盾,5.6.2,非欧几何学的先兆,从反面证明第五公设，意大利耶稣会教士、数学家萨凯里（,16671733,）于,1733,年第一次发表了其极具特色的成果。,离开了求证第五公设的目标，朝向创造非欧几何的目标靠拢但是，他们没有认识到欧几里得几何并不是在经验可证实的范围内描述物质空间性质的唯一几何,5.6.3,奇异的罗巴切夫斯基几何学,罗巴切夫斯基非欧几何的平行公理：设,a,是任一直,线，,A,是,a,外任一定点。在,a,与,A,所决定的平面上，过点,A,而与,a,不相交的直线，至少有两条,罗巴切夫斯基非欧几何命题,三角形内角和都是小于,的，而且其和量因三角形而异，并非一个常量。,同一直线的垂线及斜线，并不总是相交的。,不存在相似而不全等的两个三角形。,如果两个三角形的各内角对应相等，则它们必定是全等的。,存在着没有外接圆的三角形。,三角形三边的中垂线并非必定交于一点。,在平面上一条已知直线,a,的同一侧，与已知线,a,有给定距离的点的 轨迹是一曲线，它上面的任意三点都不在一条直线上。,在任一角内，至少存在这样一点，通过它不能做出一条同时与两边相交的直线。,圆内接正六边形的边大于此圆半径,5.7,几何学的统一性与现实性,5.7.1,黎曼几何,德国数学家年提出另一种,非欧几何学,黎曼几何（黎曼。,1854,年）直接起源于微分几何的研究,黎曼几何的平行公理，是假设过直线外一点不存在与,已知直线平行的直线。在黎曼几何中，三角形的内角和大于两直角，圆周率小于,5.7.2,非欧几何学的“现实性”,直到,19,世纪初，所有的数学家都认为欧氏几何是物,质空间和此空间内图形性质的正确描述。并且“空间”也专指当时人们所唯一了解的欧几里得空间,罗巴切夫几何自诞生之日起，其命题的合理性就不断,引起人们的怀疑。非欧几何早期的发现者们为了验证它的合理性，曾作过一些实际的测定。历史的事实却残酷的告诉我们，罗氏几何迟至今日也没能在物理空间找到应用，只有在逻辑的范畴内，利用公理化的思想与方法找到它存在的“合理性”,黎曼几何在相对论中的现实应用。,爱因斯坦说：“我特别强调刚才所讲的这种几何学的观点，因为要是没有它，我就不能建立相对论。”,5.7.3,爱尔兰根纲领,19,世纪初，运用欧几里得综合方法，创造出与解析几何相媲美的射影几何学,爱尔兰根纲领（克莱因，,1872,年）：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何只是研究与特定的变换群有关的不变量。,克莱因以射影几何为基础、对几何学做了如下的分类：,利用不变性研究图形的性质，为初等几何的研究提供了新的方法。,例如，由于在仿射交换下椭圆可以变成圆，相应地椭圆中心变为圆心，椭圆的切线变为圆的切线。我们不妨将原命题应用仿射变换转化为相应的圆的命题：设,ABC,为圆内接三角形，以其顶点作切线构成了切线三角形,A,1,B,1,C,1,。如果,A,1,B,1,AB,.,B,1,C,1,BC,。那么,A,1,C,1,AC,。一旦我们证明了这个有关圆的命题，再利用仿射变换下“平行”为不变性，便可知原命题成立。,5.8,几何基础与公理化方法,5.8.1,公理化方法,非欧几何、非交换代数（如四元数）的出现，使数学家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了科学的公理化方法。,公理集合的性质,相容性，即由公理导出的定理，没有哪两个是相互矛盾的；,完备性，即理论系统中的定理都可以从公理导出,独立性，即由公理导出的定理中中没有一个是另一个的逻辑 结果。在任何一个公理系中，不加定义的概念,例如几何学中的“点”和“线”，它们在物理领域中的“意义”或关系，在数学上是非本质的。它们被当作纯粹抽象的东西，它们在演绎系统中的性质，完全用公理的形式加以界定,5.8.2,欧氏几何公理体系的严密化,希尔伯特几何公理体系被划分为五组，用五组公理联结三种对象及其间的三种关系（六个原始概念）。如果在这个公理体系中去掉第三种几何基本对象（“平面”）以及与它有关的各条公理，余下来的公理和五个原始概念就可以构成一个“平面几何的公理系统”。,希尔伯特公理集可以排除欧氏几何证明中的直观成分。,例如，用公理,IV,给出下述命题的证明：,命题：联接圆内的一点,A,与圆外一点,B,的直线段与该圆周有一个公共点。图,5.33,圆内外两点连线必与圆相交的证明,事实上，令,O,为给定圆的圆心，,r,为半径，,C,为从,O,到,AB,线段的垂线。线段,AB,上的点,可被分为两类：对于一些点,P,，,OP,r,，,和对于一些点,Q,，,OQ,r,。可证明：对每,一种情况，,CP,CQ,。根据戴德金的公设,，在,AB,上存在一个点,R,，使得：所有位,于它之前的点属于第一类，并且所有位,于它之后的点属于第二类。于是,OR,不小于,r,，否则我们能在,R,和,B,之间选,AB,上的点,S,，使得,RS,r,OR,，但是，因为,OS,OR,