第5章_回溯法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,5,章 回溯法,1,回溯法,有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。,回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的,穷举式搜索法,。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。,回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。,2,问题的解空间,问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个,n,元式,(x1,x2,xn,),的形式。,显约束：对分量,xi,的取值限定。,隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。,解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。,注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。,n=3,时的,0-1,背包问题用完全二叉树表示的解空间,3,生成问题状态的基本方法,扩展结点,:,一个正在产生儿子的结点称为扩展结点,活结点,:,一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点,死结点,:,一个所有儿子已经产生的结点称做死结点,深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点,R,，一旦产生了它的一个儿子,C,，就把,C,当做新的扩展结点。在完成对子树,C,（以,C,为根的子树）的穷尽搜索之后，将,R,重新变成扩展结点，继续生成,R,的下一个儿子（如果存在）,宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点,回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数,(bounding function),来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。,具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法,4,递归回溯,回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。,void,backtrack,(,int,t),if,(tn),output,(x);,else,for,(,int,i=,f,(n,t);i0),if,(,f,(n,t)=,g,(n,t),for(,int,i=,f,(n,t);in)output(x);,else,for(,int,i=0;in)output(x);,else,for(,int,i=t;i n)/,到达叶结点,更新最优解,bestx,bestw,;return;,r-=wi;,if,(,cw,+wi,bestw,),xi=0;/,搜索右子树,backtrack,(i+1);,r+=wi;,9,批处理作业调度,给定,n,个作业的集合,J,1,J,2,J,n,。每个作业必须先由机器,1,处理，然后由机器,2,处理。作业,J,i,需要机器,j,的处理时间为,t,ji,。对于一个确定的作业调度，设,F,ji,是作业,i,在机器,j,上完成处理的时间。所有作业在机器,2,上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。,批处理作业调度问题要求对于给定的,n,个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。,t,ji,机器,1,机器,2,作业,1,2,1,作业,2,3,1,作业,3,2,3,这,3,个作业的,6,种可能的调度方案是,1,2,3,；,1,3,2,；,2,1,3,；,2,3,1,；,3,1,2,；,3,2,1,；它们所相应的完成时间和分别是,19,，,18,，,20,，,21,，,19,，,19,。易见，最佳调度方案是,1,3,2,，其完成时间和为,18,。,10,批处理作业调度,解空间：排列树,private static void,backtrack,(,int,i),if,(i n),for,(,int,j=1;j=n;j+),bestx,j=xj;,bestf,=f;,else,for,(,int,j=i;j f1)?f2i-1:f1)+mxj2;,f+=f2i;,if,(f half)|(t*(t-1)/2-counthalf),return,;,if,(tn)sum+;,else for,(,int,i=0;i2;i+),p1t=i;,count+=i;,for,(,int,j=2;j=t;j+),pjt-j+1=pj-1t-j+1pj-1t-j+2;,count+=pjt-j+1;,backtrack,(t+1);,for,(,int,j=2;j=t;j+)count-=pjt-j+1;,count-=i;,+-+-+,+-+,-+-,-+-,-+-,-,+,复杂度分析,计算可行性,约束,需要,O(n),时间,，在,最坏情况,下有 O(2,n,)个结点,需要计算可行性,约束，故解,符号三角形问题,的,回溯,算法所需的,计算时间,为 O(n2,n,)。,13,n,后问题,在,nn,格的棋盘上放置彼此不受攻击的,n,个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。,n,后问题等价于在,nn,格的棋盘上放置,n,个皇后，任何,2,个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。,1 2 3 4 5 6 7 8,1,2,3,4,5,6,7,8,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,14,解向量：,(x,1,x,2,x,n,),显约束：,x,i,=1,2,n,隐约束：,1),不同列：,x,i,x,j,2),不处于同一正、反对角线：,|i-j|,|,x,i,-,x,j,|,n,后问题,private static,boolean,place,(,int,k),for,(,int,j=1;jn)sum+;,else,for,(,int,i=1;i=n;i+),xt=i;,if,(,place,(t),backtrack,(t+1);,15,0-1背包问题,解空间：子集树,可行性约束函数：,上界函数：,private static double,bound,(,int,i),/,计算上界,double cleft=c-,cw,;/,剩余容量,double bound=cp;,/,以物品单位重量价值递减序装入物品,while,(i=n&wi=cleft),cleft-=wi;,bound+=pi;,i+;,/,装满背包,if(i n)/,到达叶结点,for(,int,j=1;j=n;j+),bestx,j=xj;,bestn,=,cn,;return;,/,检查顶点,i,与当前团的连接,boolean,ok=true;,for(,int,j=1;j,bestn,)/,进入右子树,xi=0;,backtrack(i+1);,复杂度分析,最大团问题的回溯算法,backtrack,所需的计算时间显然为,O(n2,n,),。,1,2,4,5,3,18,进一步改进算法的建议,选择合适的搜索顺序,，可以使得上界函数更有效的发挥作用。例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上相当于给回溯法加入了启发性。,定义,Si,=v,i,v,i+1,.,v,n,，依次求出,S,n,S,n,-1,.,S,1,的解。从而得到一个,更精确的上界函数,，若,cn,+,S,i,n)sum+;,else,for,(,int,i=1;i=m;i+),xt=i;,if,(,ok,(t),backtrack,(t+1);,private static,boolean,ok,(,int,k),/,检查颜色可用性,for,(,int,j=1;j=n;j+),if,(akj&(xj=xk),return,false;,return,true;,复杂度分析,图,m,可着色问题的解空间树中内结点个数是,对于每一个内结点，在最坏情况下，用,ok,检查当前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色可用性需耗时,O(,mn,),。因此，回溯法总的时间耗费是,思考：图的,m,着色问题与图的最大团问题有何关系，你能否利用这个关系改进最大团问题的上界？,21,旅行售货员问题,解空间：排列树,private static void,backtrack,(,int,i),if,(i=n),if,(axn-1xn Float.MAX_VALUE&axn1 Float.MAX_VALUE&,(,bestc,=Float.MAX_VALUE|cc+axn-1xn+axn1,bestc,),for,(,int,j=1;j=n;j+),bestx,j=xj;,bestc,=cc+axn-1xn+axn1;,else,for,(,int,j=i;j=n;j+),/,是否可进入,xj,子树,?,if,(axi-1xj Float.MAX_VALUE&,(,bestc,=Float.MAX_VALUE|cc+axi-1xj,bestc,)/,搜索子树,MyMath,.,swap,(x,i,j);,cc+=axi-1xi;,backtrack,(i+1);,cc-=axi-1xi;,MyMath,.,swap,(x,i,j);,复杂度分析,算法,backtrack,在最坏情况下可能需要更新当前最优解,O(n-1)!),次，每次更新,bestx,需计算时间,O(n),，从而整个算法的计算时间复杂性为,O(n!),。,22,圆排列问题,给定,n,个大小不等的圆,c1,c2,cn,，现要将这,n,个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从,n,个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。例如，当,n=3,，且所给的,3,个圆的半径分别为,1,，,1,，,2,时，这,3,个圆的最小长度的圆排列如图所示。其最小长度为,23,圆,排列问题,private static float,center,(,int,t),/,计算当前所选择圆的圆心横坐标,float temp=0;,for(,int,j=1;jtemp)temp=,valuex,;,return temp;,private static void,compute,(),/,计算当前圆排列的长度,float low=0,high=0;,for(,int,i=1;i=n;i+),if(xi-rihigh)high=xi+ri;,if(high-lown)compute();,else,for(,int,j=t;j=n;j+),MyMath,.swap(r,t,j);,float,centerx,=center(t);,if(,centerx,+rt+r1min),/,下界约束,xt=,centerx,;,backtrack(t+1);,MyMath,.swap(r,t,j);,复杂度分析,由于算法,backtrack,在最坏情况下可能需要计算,O(n!),次当前圆排列长度，每次计算需,O(n),计算时间，从而整个算法的计算时间复杂性为,O(n+1)!),上述算法尚有许多改进的余地。例如，象,1,2,n-1,n,和,n,n-1,2,1,这种互为镜像的排列具有相同的圆排列长度，只计算一个就够了，可减少约一半的计算量。另一方面，如果所给的,n,个圆中有,k,个圆有相同的半径，则这,k,个圆产生的,k!,个完全相同的圆排列，只计算一个就够了。,24,连续邮资问题,假设国家发行了,n,种不同面值的邮票，并且规定每张信封上最多只允许贴,m,张邮票。连续邮资问题要求对于给定的,n,和,m,的值，给出邮票面值的最佳设计，在,1,张信封上可贴出从邮资,1,开始，增量为,1,的最大连续邮资区间。,例如，当,n=5,和,m=4,时，面值为,(1,3,11,15,32),的,5,种邮票可以贴出邮资的最大连续邮资区间是,1,到,70,。,25,连续邮资问题,解向量：用,n,元组,x1:n,表示,n,种不同的邮票面值，并约定它们从小到大排列。,x