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,平面向量的概念及线性运算,考试要求,1.,了解向量的实际背景,.,2.,理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义,.,3.,理解向量的几何表示,.,4.,掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义,.,5.,掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义,.,6.,了解向量线性运算的性质及其几何意义,.,1.,向量的有关概念,(4),平行向量,(,共线向量,),：,方向,_,或,_,的,非零向量,.,向量,a,，,b,平行，记作,a,b,.,规定：,0,与任一,向量,_,.,(5),相等向量：,长度,_,且方向,_,的,向量,.,(6),相反向量：,长度,_,且方向,_,的,向量,.,相同,相反,平行,相等,相同,相等,相反,2.,向量的线性运算,向量运算,定义,法则,(,或几何意义,),运算律,加法,求两个向量和的运算,三角形,法则,平行四边形法则,(1),交换律：,a,b,_,.,(2),结合律：,(,a,b,),c,_,b,a,a,(,b,c,),减法,求两个向量差的运算,a,b,a,(,b,),数乘,规定实数,与向量,a,的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作,a,(1)|,a,|,_,；,(2),当,0,时，,a,的方向与,a,的,方向,_,；,当,0,时，,a,的方向与,a,的,方向,_,；,当,0,时，,a,_,(,a,),_,；,(,),a,_,；,(,a,b,),_,|,|,a,|,相同,相反,0,a,a,a,a,b,3.,共线向量定理,向量,a,(,a,0),与,b,共线的充要条件是：存在唯一一个实数,，,使,_,.,b,a,常用结论,解,(2),若,b,0,，则,a,与,c,不一定平行,.,(3),共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则,A,，,B,，,C,，,D,四点不一定在一条直线上,.,ABC,解,根据向量的有关概念可知,ABC,正确,，,对于,D,，当,0,时，,a,与,b,不一定共线，故,D,错误,.,2.(,多选,)(,2022,威海月考,),下列说法正确的是,(,),A,又,O,为,ABC,的外接圆的圆心，,根据加法的几何意义，四边形,OACB,为菱形，且,CAO,60,，,因此,CAB,30.,解,A,中，,a,b,，则,a,b,，故,A,不正确；,B,、,C,中，由于向量,a,，,b,的大小相等，但其方向不确定，故,B,、,C,都不正确,；,D,显然正确,.,4.(,易错题,),下列四个命题中，正确的是,(,),A,.,若,a,b,，则,a,b,B,.,若,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,C,.,若,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,D,.,若,a,b,，则,|,a,|,|,b,|,D,A,解,由已知,2,a,b,0,，依题意知向量,a,b,与,2,a,b,共线,，,设,a,b,k,(2,a,b,),，则有,(1,2,k,),a,(,k,),b,0,，,因为,a,，,b,是两个不共线向量，故,a,与,b,均不为零向量，,6.,设,a,与,b,是两个不共线向量，且向量,a,b,与,(,b,2,a,),共线，则,_.,考,点,平面向量的概念,解,由平行向量和共线向量可知，,A,正确；,因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以,B,是错误的；,1.(,多选,),下列命题中正确的有,(,),A,.,平行向量就是共线向量,B,.,相反向量就是方向相反的向量,C.,a,与,b,同向，且,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,D,.,两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件,AD,因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以,C,是错误的；,因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以,D,是正确,.,所以向量,a,与向量,b,方向相同，故可排除,A,，,B,，,D.,C,解,方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故,A,正确；,单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故,B,错误；,3.(,多选,),下列命题正确的有,(,),A,.,方向相反的两个非零向量一定共线,B,.,单位向量都相等,C,.,若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同,AD,两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故,C,错误；,感悟提升,考,点,向量的线性运算,解析,由已知,a,，,b,不共线，,例,1,(1),已知两个非零向量,a,，,b,满足,|,a,b,|,|,a,b,|,，则下列结论正确的是,(,),A.,a,b,B.,a,b,C,.|,a,|,|,b,|D.,a,b,a,b,B,角度,1,平面向量的加、减运算的几何意义,从而,ABCD,为矩形，即,AB,AD,，故,a,b,.,所以,ABC,是边长为,2,的正三角形，,角度,2,向量的线性运算,AD,A.1 B.2 C.3 D.4,解,法一,由题图可得,C,则,2,r,3,s,1,2,3.,以下同法一,.,得,(4,m,，,2,h,),r,(4,m,，,0),s,(3,m,，,3,h,),，,法三,如图，建立平面直角坐标系,xAy,，,依题意可设点,B,(4,m,，,0),，,D,(3,m,，,3,h,),，,E,(4,m,，,2,h,),，其中,m,0,，,h,0.,所以,2,r,3,s,1,2,3.,1.(1),解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化,.,(2),在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示,.,2.,与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值,.,D,解,如图，记正六边形,ABCDEF,的中心为点,O,，连接,OB,，,OD,，易证四边形,OBCD,为菱形，且,P,恰为其中心，,B,考,点,共线向量定理的应用,A,，,B,，,D,三点共线,.,(2),试确定实数,k,，使,ka,b,和,a,kb,共线,.,解,ka,b,与,a,kb,共线，,存在实数,，,使,ka,b,(,a,kb,),，即,ka,b,a,kb,，,(,k,),a,(,k,1),b,.,a,，,b,是不共线的两个向量，,k,k,1,0,，,k,2,1,0,，,k,1.,A,所以,3,e,1,2,e,2,(3,k,),e,1,(2,k,1),e,2,，,又,e,1,与,e,2,不共线，,(3,k,),e,1,(2,k,1),e,2,，,因为,M,，,O,，,N,三点共线，,2,
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