【教学课件】第四章边值问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 静态场边值问题的解法,当场域边界的几何形状比较复杂时，很难用解析法进行分析。应采用数值计算法。,4.5 有限差分法,设有一函数f(x)，当独立变量x有一微小增量,xh，相应f(x)的增量为：。,通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。,有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，,1差分原理,不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。,当h很小时，,f(x),df(x).,f(x)=f(x+h)-f(x),称为函数f(x)的差分,中心差分,f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2),一阶差商：,二阶差商,偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为差分方程（代数方程）。,2以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组（代数方程组）。,(1)决定离散点的分布方式。,按正方网格划分，网格边长（步长）,h,，,网格线的交点称结点。,设结点,O,上的电位为,(,x,o,y,o,)=,o,结点,1,，,2,，,3,，,4,上的电位为,1,，,2,，,3,，,4,。,设边值问题是,任一点,x,的电位,考虑,1,，,3,两点,x,1,=x,o,+h,x,3,=x,o,-h,边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把点函数,f(s),的值赋予各边界结点。,3差分方程的解法,设将场域划分如图,.,边界上的值分别为,f,1,f,16,。,在各内点上作出差分，泊松方程变成下列差分方程组,解出关于,1,，,2,.,9,的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。,算法,简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。,（,1,）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。,（2）按一固定顺序(从左到右，从下到上)依次利用,计算内点,o,点的新值。即,o,点的新值就是围绕该点的,4,个点的电位的平均值。,如（j，k）点在第n1次迭代时按下式计算：,当所有的内点都计算完后，用他们的新值代替旧值，完成一次迭代。再进行下一次迭代。直到每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围。,这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下一次迭代时的初值。,超松弛法,简单迭代法收敛慢。,超松弛法的改进：,（1）,即计算（j，k）点时，左边点（j-1,k）和下面点（j，k-1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。,（2）将上式写成增量的形式，,引进加速收敛因子,，,在,1,2,之间。,加速解的收敛。,2,时，迭代过程将发散。,最佳收敛因子,0,的取值随问题而异。对第一类边值问题，正方形场域，网格按正方形划分，每边结点数,p,1,，则,一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位,4,100。求槽内电位分布。,例,解：,二维场第一类边值问题。,将二维场域划分成正方形网格，步距,h,a/4,。,场域内任一点电位,应满足二维拉普拉斯方程的差分计算格式。,采用超松弛迭代方法。迭代公式,按,可算得,1.17,所有内点从零值初始值开始迭代求解。,本题第一类边值，结点与边界重合，所有网格点迭代前的初值如图。,迭代次数,N,分别为,1,，,2,，,3,，,4,时各网格内点的数值解如图。,若规定各网格内点相邻两次迭代值的绝对误差应小于,10,5,，得到各内点的电位数值解如图。此时,N,13,。,从结果看电位分布关于,y,轴有对称性。实际计算可只一半区域，而将网格划分得更细。以得到更理想到数值解。,