632 割线法与抛物线法(精品)

,第六章非线性方程组的迭代解法,6.3.2,割线法与抛物线法,6.3.1 Newton,迭代法,6.3,一元方程的常用迭代法,设,x*,是方程,f(x)=0,的实根，是 一个近似根，用,Taylor,展开式有,这里假设存在并连续。若，可得,（,6.3.1,）,其中 。若（,6.3.1,）的右端最后一项忽略不记，作为,x*,新的一个近似值，就有,，,k=0,1,，,（,6.3.2,）,这就是,Newton,迭代法,。,6.3.1 Newton,迭代法,对（,6.3.2,）可作如下的几何解释：为函数,f(x),在点 处的切线与横坐标轴的交点,见图,6-3.,因此,Newton,迭代法也称为切线法,.,Y,0,y=f(x),X,将,(6.3.2),写成一般的不动点迭代,(6.2.3),的形式,有,所以有,Newton,迭代法是超线性收敛的。更准确地,从,(6.3.1),和,(6.3.2),可得下面的定理,.,定理,6.5,且,f(x),在包含,x*,的一个区间上有二阶连续导数,则,Newton,迭代法（,6.3.2,）至少二阶收敛，并且,以上讨论的是,Newton,法的局部收敛性。对于某些非线性方程，,Newton,法具有全局收敛性。,例,6.8,设,a0,对方程,-a=0,试证,:,取任何初值,0,，,Newton,迭代法都收敛到算术根 。,由此可知,证 对,f(x,)=-a,Newton,迭代法为,设,x*,是,f(x)=0,的,m,重根,，即,在定理,6.5,中,要求,f(x*)=0,即 是方程的单根时,Newton,法至少具有二阶局部收敛性。下面讨论重根的情形,.,可见,对于任何,0,都有,并且,非增,.,因此,是有下界的非增序列,从而有极限,x*.,对（,6.3.3,）的两边取极限,得到,-a=0,因为,0,故有,x*=,。,由,Newton,迭代函数 的导数表达式,容易求出,从而，。因此只要 ，这时的,Newton,迭代法线性收敛。,为了改善重根时,Newton,法的收敛性，有如下两种方法。,若改为取,容易验证 。,迭代至少二阶收敛,.,若令,由,x*,是,f(x),的,m,重零点，有,例,6.9,方程 的根 是二重根,.,用三种方法求解,.,解,(1),用,Newton,法有,这种方法也是至少二阶收敛的,.,所以，,x*,是 的单零点,.,可将,Newton,法的迭代函数修改为,(2),由,(6.3.4),m=2,迭代公式为,(3),由,(6.3.5),确定的修改方法，迭代公式化简为,三种方法均取,=1.5,计算结果列于表,6-7.,方法（,2,）和方法,(3),都是二阶方法，都达到了误差限为 的精确度,而普通的,Newton,法是一阶的,要近,30,次迭代才有相同精度的结果,.,X,k,X,0,X,1,X,2,X,3,方法,(1)1.5 1.458333333 1.436607143 1.425497619,方法,(2)1.5 1.416666667 1.414215686 1.414213562,方法,(3),1.5,1.411764706 1.414211438 1.414213562,表6-7,Newton,法的每步计算都要求提供函数的导数值，当函数,f(x),比较复杂时，提供它的导数值往往是有困难的。此时，在,Newton,迭代法（,6.3.2,）中，可用 或常数,D,取代 迭代式变为,或,这称为,简化,Newton,法,。其迭代函数为,简化,Newton,法一般为线性收敛。,6.3.2,割线法与抛物线法,这就是割线法的计算公式。其几何解释为通过,和作的割线，割线与,x,轴交点的横坐标是 。,为了回避导数值 的计算，除了前面的简化,Newton,法之外，我们也可用点 上的差商代替 ，得到迭代公式,与,Newton,法不同的是，用割线法计算 时，需要有两个初始值 。,计算 时，要保留上步的 和 ，再计算一次函数值 。所以割线法是一种两步迭代法，不能直接用单步迭代法收敛性分析的结果。下面给出割线法收敛性的定理。,定理,6.6,设,在区间 上的二阶导数连续,且 。又设 ，其中,则当 时，由（,6.3.6,）式产生的序列 ，并且按 阶收敛到根 。,证 由（,6.3.6,）两边减去 ，利用均差的记号有,因,f(x),有二阶导数，所以有,其中 在 之间，在包含 的最小区间上。仍记 ，由（,6.3.8,）有,若 则利用（,6.3.7,）和 得：,这说明 时，序列 。又由于：,所以，当 时，即 收敛到 。从上式也可知割线法至少是一阶收敛的。,进一步确定收敛的阶，这里我们给出一个不严格的证明。由（,6.3.9,）有,这里 。令 ，代入（,6.3.10,）得,我们知道，差分方程 的通解为 ，这里，为任意常数，,和 是方程 的两个跟。当,k,充分大时，设 ，,c,为常数，则有,这说明割线法的收敛阶为 。定理证毕,。,类似于简单,Newton,法，有如下的单点割线法,其迭代函数为,于是,其中 在 和 之间。由此可见，单点割线法一般为线形收敛。但当 变化不大时，收敛仍可能很快。,例,10,分别用单点割线法，割线法和,Newton,法求解,Leonardo,方程,解,由于,故，在（,1,，,2,）内仅有一个,根。,对于单点割线法和割线法，取,计算结果如表,6-8,。,对于,Newton,法，由于在（,0.2,）内 ，故取 ，计算结果如表,6-8,单点割线法,割线法,Newton,法,1.368421053,1.368421053,1.383388704,1.368851263,1.368850469,1.368869419,1.368803298,1.368808104,1.368808109,1.368808644,1.368808108,1.368808108,表,6-8,由计算结果知，对单点割线法有 ，对割线法有 ，对,Newton,法有 ，故取,割线法的收敛阶虽然低于,Newton,法，但迭代一次只需计算一次 函数值，不需计算导数值 ，所以效率高，实际问题中经常使用。与割线法类似，我们可通过三点 作一条抛物线，适当选取它与,x,轴交点的横坐标作为 。这样产生迭代序列的方法称为,抛物线法,，亦称,Muller,方法,。,下面给出抛物线法的计算公式。过三点,的插值多项式为,其中,二次方程 有两个根，我们选择接近 的一个作 ，即得迭代公式,（,6.3.11,）,把根式写到分母是为例避免有效数字的损失。,可以证明（,6.3.11,）产生的序列局部收敛到 的零点 ，即有类似于定理,6.6,的结论。这里要假设 在 的领域内三阶导数连续，。它的收敛阶是 ，这是方程,的根。收敛速度比割线法更接近于,Newton,法。,