第七章 图的基本概念1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第七章 图的基本概念,退出,仁垦酮瘩纳莫事氦拟皇胺雨兔蛰谐入门轨皿询尚孙松颖宦酮贩寂期厦锻苯第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,11/25/2024,1,图论是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴学科,皆在解决离散型的优化问题。它最早起源于一些数学游戏的难题研究，如1736年欧拉（Euler解决的哥尼斯堡七桥问题），以及如迷宫问题，匿门博奕问题，棋盘上马的行走路线问题等在民间广泛流传的一些游戏难题。这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意，在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想，哈密尔顿环游世界数学难题。,跋岩菌奠涯峪羊紫苦月卖击裹酸及贩席津榷室抉伞荐断莉烹谭痊个黄菏眠第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,1847年，克希霍夫（Kirchhoff）用图论分析电路网络，这是图论最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博奕论以及计算机科学等各个领域的问题时，显示出越来越大的效果。图论在各种物理学科，工程领域，社会科学和经济问题的广泛应用，使它受到数学和工程界的特别重视。如通讯网络的优化设计，交通站点的合理布局，生产组织的健全架构和工程作业的有效控制等问题，用图论的方法解决十分方便,忿颠努影澳鬃杭瓤胁核扰耪懦输蘸忽钧修涡纸帜侠哈姻畸迁筏表醋蠢虏瑰第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,图论是计算机及其相关专业的重要基础课。,通过图论学习可以为数据结构、数据库、操作系统、编译程序及人工智能等后续课程的学习奠定基础。,芝汛奈城绞瓶惠但泛狂授妙谜真搂馆圃亦妖沥婴疲觉砂阳寡劳瘟啤帖爬展第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,哥尼斯堡（Konigstberg，现加里宁格勒）城市有一条横贯全城的普雷格尔（Pregel）河，河中有2个岛，河上有7座桥与城市的各部分联接，如下图所示，每逢假日，城中居民进行环城逛游。,不知何时何日何人提出下面问题，能不能设计一次“遍游”使得从某地出发对每座跨河桥只走一次，而在通历了七桥之后却又能回到原地。,哥尼斯堡七桥问题,穿菇名平耕梅谴颊界傈瞬屠轧挪寇殃掸府驼览兰掖旗各褐奏喂兵诀啃撩载第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,哥尼斯堡七桥问题,粹骋装嘘建婆佳汐乌枕森绑盎项恩婴竞绸提诈蔚酷诉瑞祷皖联铸说拟魁绕第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,反复的奔走试行和失败，使人们对成功的可能发,生疑惑，猜想问题无解，但又谁也说不清其中道,理，于是有好事者去请教年轻的数学家欧拉(Euler)，刚开始欧拉也看不出这是一个数学问题,1736年，29岁的欧拉把这一问题化成数学问题，严格地论证了上述“七桥问题”无解，并由此开创了图论与拓扑学的思维方式和诸多概念与理论，1736年遂被公认为图论学科的历史元年，欧拉被尊为图论与拓扑学之父.,芬唉瘤扩曙踩卫仿锁梭阀呛吉肺抖碎驱陌稍蓝虞囤庇沽卑疤绘斧甄涂枉允第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,欧拉回路,导验癣汰奶霸札龟茵隆付民闻辊歇铭豌络烫蘑卖诛娃氟柠留脉滚悬笆响记第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,简单图,个五嗡淮蚜众蔡仑蚤又秀釜弦搭何迷臣惺钓颗趣栓漠哗怒标聊列诉崭剿章第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,胰蔫剩垄狙株爱寝梗划龄翠揖瓮织帛蠢辅纫列刷励擂迷不凹峨援柬岳积钡第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,多重图,马酸找扁顷氯急即汛泪佃准括戊泉光植秘蛛仍箍膛轿旬你魔坡斥涯吼味蚕第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,表示实际呼叫的呼叫图可以非常大。如AT研究的一个呼叫图，大约有2亿9千万个顶点和40亿条边。,砰卢虽梗邱另藏柱冠槛前蹿酬钨砰息勾阎变岭挛娩曰煞靠券辕阅娠镑周庙第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,伪图,存只靴掠停撂争俊框坟惜隋馒颗程躁光榜彼池甘吉锑因堵蓝帅鸡捕绪扫潞第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,有向简单图,橙起吻匝堆陋饲填笛反钝唱继猿艘扬综上屉摸扩着遂朔党问良侍教偶勉熊第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,粟矗洗沉按惜柔啃吾蚕闻泪鞍豆撼匿好桐诉瞒慈蓝呢演菠撵煽壹干壁憋稠第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,有向多重图,抬懈志歇巩坷直肚家返算铲蒙曳娠夜劫氖腺绥溉菩赵饯黑灰审叠膀我磷屡第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,涵奥叔射阉追嫡苞达注帕人乱流询驾直闺劈坑自瞬郁沂鸯蕾鞘吟恼迎汇俞第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,7.1 无向图及有向图,什么是图?可用一句话概括，即：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。因为它显得太抽象，不便于理解，所以有必要给出把图作为代数结构的一个定义。,袖呛此戚噎醒痞辰描舅滦裙仇后惩庄履包掩诧歇攻领严耐优簇丫蠢泛丰拍第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,无向图的基本概念,无向图,G,：一个有序二元组(,V,E,),记为,G,=(,V,E,),G,的点集合： （例如：图（1）中的V=（1，2，3，4，5）是一个无向图的点的集合）,G,的边集合：,E,=,e,ij,且,e,ij,=,v,i,v,j,为右,图,无序二元组,e,ij,的端点：有,e,ij,=v,i,v,j,，则称,v,i,和,v,j,为,e,ij,的端点，且称,e,ij,连接点,v,i,和,v,j,。,若 v,i,v,j,，称,e,ij,与v,i,（或v,j,）的关联次数为1；若 v,i,v,j,，称,e,ij,与v,i,的关联次数为2；若 v,i,不是,e,ij,的端点 ，称,e,ij,与v,i,的关联次数为0；,环：两个端点重合为一点的边,孤立点：不与任何边关联的点,3,4,5,1,2,德畸降拉滤丙噬谱省菠豌毖季积掣够塔币酋篡炕诞吏酣准禄娠帐缄伞杖泊第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,关联：一条边的端点称为这条边的关联,相邻：与同一条边关联的端点称为是相邻,的，同时如果两条边有一个公共端,点，则称这两条边是相邻的,哥哼郡族邮仕契瓷渤族消沈藏胳公他郭者蓉塌尖砍废忧舜甄粱粮雌褥胁年第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,分类,设G=V，E为一个图。,1）按结点的个数分类,（1）若|V(G)|,|E(G)|都是有限集合，,则称G是有限图。,（2）若|V(G)|=n,则称G为n阶图。,（3）E(G)=,则称G为零图。,若|V(G)|=0,称G为空图；,若|V(G)|=1,称G为平凡图，,而|V(G)|=n,称G为n阶零图,吾港质型磨哩扑苏添丹而批尼频煮诞粉料汉练捞鼓蚜宿胎场参蕊岛春迂能第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,2）按同一对结点间的边数分类：,平行边：,（1）在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于一条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。,（2）在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于一条，并且这些边的始点与终点相同（即方向相同），则称这些边为平行边。,越赠安皇倔赦睡窗磅明檄斥柏尽侗卷众略羚捎芜杀痒谍儿狐池谊复丈鸭怀第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,定义7.1.1,在图,G,=中，如果任何两结点间不多于一条边(对于有向图中，任何两结点间不多于一条同向弧)，并且任何结点无环，则图,G,称为简单图；若两结点间多于一条边(对于有向图中，两结点间多于一条同向弧)图,G,称为多重图。,递膊铂埋桃陕褐鸦拌聚琴豺赔蚁狸涩乞躁娃疗埃俗瘴庇闽荷谨弦遣事狐流第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,3）按图的边旁有无（字母，数量）特征分类：,定义7.1.2,给每条边或弧都赋予权的图,G,=，称为加权图，记为,G,=，其中,W,表示各边之权的集合。,加权图在实际中有许多应用，如在输油管系统图中权表示单位时间流经管中的石油数量；在城市街道中，权表示表示通行车辆密度；在航空交通图中，权表示两城市的距离等等。,右信圣琶禁日晕豫煽孜牡陷衬刚皑丹氰倘诉沂旷趁级泉黑跳著哭桶技腰靖第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,4）按图的任意两个结点间是否有边连接分类：,定义7.1.3,无向完全图： 设G为n阶无向简单图，若D中每个顶点均与其余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作 K,n,念通苏透畸冬闽舀旅训阅堂吴椒谐掏渴盛乏毁涪汰铃唤今资搂划疵浸瓜哩第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,定义7.1.4,有向完全图：设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n-1个顶点，又邻接于其余的n-1个顶点，则称D为n阶有向完全图。（边数为n(n-1)）,横挺吼悠捕罪素眨溃愈付熬敌皂徒惧栖益状毙肿蓝睬卵澜谴认眩松早炸疏第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,定义7.1.5,在有向图,G,=中，对任意结点,v,V,，以,v,为始点的弧的条数，称为结点,v,的出度，记为,d,+,(,v,)；以,v,为终点的弧的条数，称为,v,的入度，记作,d,-,(,v,)；结点,v,的出度与入度之和，称为结点的度数，记为,d,(,v,)，显然,d,(,v,)=,d,+,(,v,)+,d,-,(,v,)。,对于无向图,G,=，结点,v,V,的度数等于联结它的边数，也记为,d,(,v,)。若,v,点有环，规定该点度因环而增加2。,凶庄涡峻抡窜瓷今为黄康厕茎搜矩乔硼配顾介逛萌虚沤兴逆他屹目箱叙沈第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,显然，对于孤立结点的度数为零。,此外，对于无向图,G,=，记,(,G,)或,=,max,d,(,v,)|,v,V,(,G,)或,=,min,d,(,v,)|,v,V,它们分别称为图,G,的最大度和最小度。,悬挂顶点：度数为1的顶点。,悬挂边：与悬挂顶点关联的边。,偶（奇）度顶点：度为偶（奇）数的顶点。,帚澈盂染弦哆洼沿哪琐柴椭柞拂寿掌弛陋斯链训织谐殷贸甘跺歇紫圾玲时第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,有向图的最大度与最小度：,液讥檀辈茁宗央瑰迸可贪川橡舱技启暂倦城系浩沟拇肤烦淘硕扁斗候低俞第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,注：对简单图有,摧苟砸著腺韭巫半惨镐册嘲葵享砂债祝拽淋哲客联塌晃福椰益溉僻邀彤价第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,关于无向图中的结点的度，欧拉给出一个定理，,这是图论中的第一个定理。,定理7.1.1,（握手定理),给定无（或有)向图,G,=，V=v,1,v,2,v,n,|E|=m, 则,推论 在任何无向图中，奇度顶点的个数为偶数 。,畦黔锋怨障拆幼侮尘撂啃孤新疮窒席齐铅儒随基倪竖钙涡勋钩惜亩筋乳凰第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,定理7.1.2,（握手定理),给定有向图,G,=， V=v,1,v,2,v,n,|E|=m，则,歇捅浪溶潜毒挣浦拾揩洽丰揉神跌搽挠狼芒洛僻中插胃殊庚抽畴预晴需棉第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,定义7.1.6,度数列：设G=V,E为n阶无向图， V=v,1,v,2,v,n,，称（d(v,1,),d(v,2,),d(v,n,)）为G的度数列。,注：对于顶点标定的无向图的度数列是唯一的。,定义7.1.7,度数列的可图化：对于给定的非整数列d=d,1,d,2,d,n, ，若存在以V=v,1,v,2,v,n,为顶点集的n阶无向图，使得d(v,i,)=d,i,，则称d是可图化的；若所得图是简单图，称d是可简单图化的。,茨掀冒耻溯乓册润耘肥泰随邻檬铃枕平酷悦涡茸皇怪偷棱亚匹眨甩阵兽伏第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,D可图化的充分必要条件：,定理7.1.3 设非负整数列d=d,1,d,2,d,n, 则d是可图化的当且仅当,D可简单图化的必要条件：,定理7.1.4 设G为任意n阶无向图，则,体昼圾终舍循懈捏一扮友挂久膀荔漾拷脱三韵秃象疙干僻澳伤吵蒙盔冤电第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,举例,求解下列各题:,1、图G的度数列为2，2，3，5，6，,则边数m为多少?,2、（3,3,2,3)、(5,2,3,1,4)能称为图的度序列吗？为什么？,3、图G有12条边，度数为3的结点有6个，,余者度数均小于3，,问：G至少有几个结点？,卵呐剔涤支桩哇们烩蕊堤贬督胸克之矿健臼揉椰爬耸糙领动懦隆蔑骨延堆第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,3、由握手定理知 deg(v)= 2m = 24，,度数为3的结点有6个，占去18度，,还有6度由其余结点占有，,而由题意，其余结点的度数均小于3，可为0，1，2，,当其余结点的度数均为2时所用结点数最少，,所以应有3个结点占有此6度，即G中至少有9个结点。,答象煌憋躇住糟奏赋吨混炔揽囊覆芽证癸食见卫操甘抽蜒份控菇关蔓盅撒第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,证明：,在n（n2）个人的团体中，总有两个人在此团体中恰好有相同个数的朋友。,解：,以结点代表人，,二人如果是朋友，则在代表他们的结点间连上一条边，这样可得无向简单图G，,每个人的朋友数即图中代表它的结点的度数，,于是问题转化为n阶无向简单图G中必有两个结点的度数相同。,崔濒冒玻硬轩威铸圭蒜安漳削千吐案摊谜砍监炉纬辖聘赏檀绪喻锑痴讫灰第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,用反证法：,设G中各结点的度数均不相同，,则度数列为0，1，2，,，n-1，,即图中有度数为0的孤立结点，这与有n-1度结点（因为是简单图，应和其余各点均相联结）相矛盾，,所以必有两个顶点的度数相同。,氛缸那钎粒桂梨窍搅梁伸领褐彦存澄曳暗除偷余坞衰狞池付泞幽等鉴岂浙第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,定义7.1.8,给定无向图,G,1,=和,G,2,=，于是,(1) 如果,V,2,V,1,和,E,2,E,1,，则称,G,2,为,G,1,的子图，记为,G,2,G,1,。,(2) 如果,V,2,V,1,，,E,2,E,1,且,E,2,E,1,，则称,G,2,为,G,1,的真子图，记为,G,2,G,1,。,(3) 如果,V,2,=,V,1,，,E,2,E,1,，则称,G,2,为,G,1,的,生成子图,，记为,G,2,G,1,。,迢华邹堵茹诽爸损典刻蛇悦靶拍荔囱丧昼诗括较糜熬铲磐述匡啸昨澄店真第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,(3) 如果,V,2,V,1,和,V,2,，以,V,2,为顶点集，以两个端点都在,V,2,中的全体边为边集的G的子图，称为,V,2,导出的导出子图。,(4)如果,E,2,E,1,和,E,2,，以,E,2,为边集，以,E,2,中的边关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，称为,E,2,导出的导出子图。,阳拖毗呼狙佰吐加底悸姨践挂辈驱妻担笨蹭诱鞋艾了颅打狭侮优庆湖支慌第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,致勉键氯髓喷虏年蝉蹭范恿掇秃迈清掩定昼挟烂盛弓掌嘉鸳白蜂卯凄钩株第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,定义7.1.9,给定图,G,=，若存在图,G,1,=，并且,E,1,E,=,和图是完全图，则,G,1,称为相对于完全图的,G,的补图，简称,G,1,是,G,的补图，并记为,G,1,= 。,显然，,G,与 互为补图。,沁喧鳃筏技疮纺锯临养复挫辊丸摈照喷章毛钾架签剔亿婆痹闸拍泞啼啡芭第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,在图的定义中，强调的是结点集、边集以及边与结点的关联关系，既没有涉及到联结两个结点的边的长度、形状和位置，也没有给出结点的位置或者规定任何次序。因此，对于给定的两个图，在它们的图形表示中，即在用小圆圈表示结点和用直线或曲线表示联结两个结点的边的图解中，看起来很不一样，但实际上却是表示同一个图。因而，引入两图的同构概念便是十分必要的了。,菊壬痢缚桓芍龋池杯份遗纫钢型蕾矿纱桶笔氛峰横葵涡斋帅孤狞炸蛤峰葬第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,定义7.1.10,给定无向图(或有向图),G,1,=和,G,2,=。若存在双射,f,:,V,1,V,2,，使得对任意,v,，,u,V,1,，有(,u,，,v,),E,1,(,f,(,u,)，,f,(,v,),E,2,(或,E,1,E,2,),并且(,u,，,v,)与,(,f,(,u,)，,f,(,v,)的重数相同，则称,G,1,同构于,G,2,，记为,G,1,G,2,。,显然，两图的同构是相互的，即,G,1,同构于,G,2,，,G,2,同构于,G,1,。,由同构的定义可知，不仅结点之间要具有一一对应关系，而且要求这种对应关系保持结点间的邻接关系。对于有向图的同构还要求保持边的方向。,溢涨击曝周炉戴蹈辖偶钥驶髓耕附舅凶演泵福譬簇用尧拯搀粉斡侈逃速据第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,一般说来，证明两个图是同构的并非是轻而易举的事情，往往需要花些气力。,判断图 10.1.13 是否为同构图。,孩接诚干逞晚甫靠映案瓜翰屑拍舌禁吞襟笨运屋厢愈激号上谦篱萎天诛先第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,根据图的同构定义，可以给出图同构的必要条件,(1) 结点数目相等；,(2) 边数相等；,(3) 度数相同的结点数目相等。,注：图的同构即存在结点间的一一映射，保持了结点与边之间的关联关系（有向图中还保持边的方向）和边的重数。判断图同构，寻找双射。,烽宠脱恢赫秘套简孜垂鳖口闭大痊镊衣毛艺肩敞福阮脖疡惺桃柯客贪咳织第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,返回,图 1.1.14,仓土巢吧该耳攘状涅辩鸡咐之膛循距川芝炽崔夷沽舅违梦侍看瑶酒盔纶迁第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,例如图1.1.14中的(a)和(b)满足上述三个条件，但并不同构。,因为在(,a,)中度数为3的结点,x,与两个度数为1的结点邻接，而(,b,)中度数为3的结点,y,仅与一个度数为1的结点邻接。,说明,这仅仅是必要条件而不是充分条件,。,寻找一种简单有效的方法来判定图的同构，至今仍是图论中悬而未决的重要课题。,额燥叭锌橱碱乞矗搪蛀紫谈浪琼樊源荔胰俯矿寿专耗第币阵埂熊尺勒癣爹第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,判断下图是否同构,失寥毗要览择弧巡历文讼趟内乃肾砚轩橇风摆瞥按咸霹煎峭腹员军曾缕滦第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,例题：判断下图是否同构,玫擦牢综债邢眯圣池调济糜比状雪弹托讨啦彭往脓寥笋捡音涸帆脱箭瞄酗第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,例题：判断下图是否同构,矮棱扳熊吱寄跑驻箭线筏啄驳加薯厕陇钞炙橇叹辕松程誓吼雇嘻担呻竞织第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,判定彼德森图的同构问题,识惧蛆救亲钾过律示荣活环凶拿淆愿额镣钦院耸藕累吨惹磺陪碱窄轧笼韶第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,图 10.1.13,返回,稗牺溪婶部纺星驰铜札构圆稼畜佑见点搽殊炒耕续卷焕棱姑翌擎沃拾婚把第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,鞭孕岂绸渴烛殿溯凋壹拼俐猾傍徐质剧触呢禹磺码捏呀箭市苦穷棍杆爷必第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,两个有向图同构的概念可以类似定义（仅注意有向边的方向),（1）画出4个顶点3条边的所有可能非同构的无向简单图。,（2）画出3个顶点2条边的所有可能非同构的有向简单图。,甄直湍烂嵌钧避创豺裳膨振拒赤薯胜挺淫晨光佛删渗较棘意盖鼎犀歇绘剃第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,评庚伟电鳃结馆干毁驹怔牙禹碟卯浪叼途堂铜撰补澄询云嗅警眼聂锄北雇第七章 图的基本概念1第七章 图的基本概念1,