离散傅里叶变换-运用举例ppt课件

单击鼠标编辑标题文的格式,单击鼠标编辑大纲正文格式,第二个大纲级,第三个大纲级,第四个大纲级,第五个大纲级,第六个大纲级,第七个大纲级,第八个大纲级,第九个大纲级,单击鼠标编辑标题文的格式,单击鼠标编辑大纲正文格式,第二个大纲级,第三个大纲级,第四个大纲级,第五个大纲级,第六个大纲级,第七个大纲级,第八个大纲级,第九个大纲级,*,单击鼠标编辑标题文的格式,单击鼠标编辑大纲正文格式,第二个大纲级,第三个大纲级,第四个大纲级,第五个大纲级,第六个大纲级,第七个大纲级,第八个大纲级,第九个大纲级,*,-,离散傅里叶级数,-,离散傅里叶变换的推导与定义,-,离散傅里叶变换的基本性质,-,频率域采样,-,离散傅里叶变换的应用举例,-离散傅里叶级数,DFT,的快速算法,-FFT,的出现，使,DFT,在数字通信、信号处理、数值分析等各个领域都得到广泛应用。,DFT的快速算法-FFT的出现，使,1,用,DFT,计算线性卷积,如果,0kL-1,则由时域循环卷积定理有：,Y(k)=DFT,y(n),=,X,1,(k),X,2,(k),0kL-1,由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按照上图所示的计算框图在频域计算。,由于,DFT,具有快速算法（,FFT,），当,N,很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用,DFT(FFT),计算循环卷积。,用,DFT,计算循环卷积,y(n),1 用DFT计算线性卷积0kL-1则由时域循环卷积定,在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，为了提高运算速度，希望用,DFT(FFT),计算线性卷积。,而,DFT,只能直接用来计算循环卷积，为此须知,线性卷积和循环卷积之间的关系,以及,循环卷积与线性卷积相等的条件,。,设,h(n),和,x(n),都是有限长序列，长度分别是,N,和,M,。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：,其中：,Lmax,N,M,在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，为了提高运算速度，,对照式,(1),可以看出，上式中,:,y,c,(n),等于,y,l,(n),以,L,为周期的周期延拓的,主值序列,。,对照式(1)可以看出，上式中:yc(n)等于yl(n)以,线性卷积与循环卷积,y,l,(n),的长度为,N+M-1,，因此只有当循环卷积长度,L,N+M-1,时，,y,l,(n),以,L,为周期进行周期延拓时才无混叠现象。,此时取其主值序列显然满足,y,c,(n),y,l,(n),。,由此：,循环卷积等于线性卷积的条件是,-,L,N+M-1,线性卷积与循环卷积 yl(n)的长度为N+M-1，因此只有当,用,DFT,计算线性卷积框图,如果取,L,N+M-1,，则可用,DFT(FFT),计算线性卷积，计算框图如下图。其中,DFT,和,IDFT,通常用快速算法,(FFT),来实现，故常称其为,快速卷积,。,用DFT计算线性卷积框图 如果取LN+M-1,实际上，如果两个序列的长度相差很大，例如,MN,。如选取,L=M+N-1,，以,L,为运算区间进行快速卷积，则要求对短序列补充很多零点，序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求存贮容量大，运算时间长，并使处理延时很大，很难实时处理。,而且，在某些应用场合，序列长度不定或者认为是无限长（如语音信号和地震信号等），在要求实时处理时，不能直接套用上述方法。,解决问题的方法：是将长序列分段计算，这种分段处理法有,重叠相加法,和,重叠保留法,两种。,这里介绍重叠相加法。,实际上，如果两个序列的长度相差很大，例如MN。如选取L=,设序列,h(n),长度为,N,，,x(n),为无限长序列。将,x(n),均匀分段，每段长度取,M,，则：,于是，,h(n),与,x(n),的线性卷积可表示为：,其中：,该式说明，计算,h(n),与,x(n),的线性卷积时，可先进行分段线性卷积,y,k,(n),，然后把分段卷积结果叠加起来即可。,设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长,重叠相加法卷积示意图,每一分段卷积,y,k,(n),的长度为,N+M-1,，因此,y,k,(n),与,y,k+1,(n),有,N-1,个点重叠，必须把重叠的部分相加，才能得到完整的卷积序列,y(n),。,由图可以看出，当第二个分段卷积,y,1,(n),计算完后，叠加重叠点便可得输出序列,y(n),的前,2M,个值，同样，分段卷积,y,i,(n),计算完后，就可得到,y(n),第,i,段的,M,个序列值。,重叠相加法卷积示意图 每一分段卷积yk(n)的长度为N+M-,用,DFT,计算分段卷积,y,k,(,n,),的方法如下：,(1),i,=0,；,L,=,N,M,1,；计算并保存,H,(,k,)=DFT,h,(,n,),L,;,(2),读入,x,k,(,n,)=,x,(,n,),R,M,(,n,kM,),，构造变换区间,0,，,L,1,上的序列，实际中就是将,x,i,(,n,),的,M,个值存放在长度为,M,的数组中,并计算,(3),(4),，,n,=0,1,2,L,1,；,用DFT计算分段卷积yk(n)的方法如下：,(5),计算：,(6),i,=,i,1,，返回,(2),。,应当说明，一般,x,(,n,),是因果序列，假设初始条件,y,1,(,n,)=0,。,(5)计算：,2,用,DFT,对信号进行谱分析,信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。,DFT,是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，是分析离散信号和系统的有力工具。,1.,用,DFT,对连续信号进行谱分析,连续信号,x,a,(t),，其频谱函数,X,a,(j),也是连续函数。,DFT,对,x,a,(t),进行频谱分析，先对,x,a,(t),进行时域采样，得到,x(n)=x,a,(nT),，再对,x(n),进行,DFT,，得到,X(k),，这里,x(n),和,X(k),均为有限长序列。,若信号持续时间有限长则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽则其持续时间无限长，所以严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。,从工程角度看，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。,因此，在下面分析中，假设,x,a,(t),是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。,2 用DFT对信号进行谱分析1.用DFT对连续信号进行谱,用,DFT,分析连续信号谱的原理示意图,连续信号的频谱，可以通过对连续信号采样并进行,DFT,再乘以,T,近似得到,设连续信号,x,a,(,t,),持续时间为,T,p,，最高频率为,f,c,，,x,a,(,t,),的傅里叶变换为,X,a(j,),，对,x,a,(,t,),进行时域采样得到,x,(,n,)=,x,a,(,nT,),，,x,(,n,),的傅里叶变换为,X,(e,j,),。,用DFT分析连续信号谱的原理示意图 连续信号的频谱，可以通过,对持续时间有限的带限信号，在满足时域采样,定理时，上述分析方法不丢失信息。,即可由,X,a,(k),恢复,X,a,(j,f,),或,x,a,(t),，但直接由分析结果,X,a,(k),看不到,X,a,(j,f,),的全部频谱特性，而只能看到,N,个离散采样点的谱特性，这就是所谓的,栅栏效应,。,如果,x,a,(t),持续时间无限长，上述分析中要进行截断,处理，所以会产生频率混叠和泄漏现象，从而使谱,分析产生误差，即,截断效应,。,对持续时间有限的带限信号，在满足时域采样,由假设条件可知,:,x,(,n,),的长度,N,1,1,s,p,F,NT,T,F,=,=,=,对模拟信号频谱的采样间隔的倒数，称之为频率分辨率，也叫谱分辨率,由假设条件可知:x(n)的长度N11spFNTTF=,在已知信号的最高频率,f,c,(,即,谱分析范围,),时，为了避免在,DFT,运算中发生频率混叠现象，要求采样速率,f,s,满足：,f,s,2,f,c,而,谱分辨率,：,F=,f,s,/N,如果保持采样点数,N,不变，要提高谱的分辨率,(F,减小,),，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少。,如维持,f,s,不变，为提高分辨率可以增加采样点数,N,，因为,NT=T,p,，,T=,f,s,-1,，只有增加对信号的观察时间,T,p,，才能增加,N,。,T,p,和,N,可以按照下式进行选择,:,在已知信号的最高频率fc(即谱分析范围)时，为了避免在DFT,例,对实信号进行谱分析，要求谱分辨率,F10 Hz,，信号最高频率,f,c,=2.5kHz,，试确定最小记录时间,T,Pmin,，最大的采样间隔,T,max,，最少的采样点数,N,min,。如果,f,c,不变，要求谱分辨率提高一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少,?,解：,例 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信,DFT,对连续信号分析时的参数选择原则,f,c,-,信号最高截止频率,F,-,频,(,谱,),率分辨率（频域采样时的最小频率间隔）,F,s,-,采样频率,T,p,-,信号记录时间,T-,采样间隔,N-,采样点数,DFT对连续信号分析时的参数选择原则,用,DFT,进行谱分析的误差问题,(1),混叠现象,(2),栅栏效应,(3),截断效应,用DFT进行谱分析的误差问题,(1).,频谱混叠,对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，如果采样频率,Fs,不能够满足采样定理，则将会在,Fs/2,附近发生频率混叠现象，此时用,DFT,进行分析结果必然在,Fs/2,附近产生较大误差。,一般取,Fs,(35),fc,。在,Fs,确定时，一般在采样前进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。,解决办法,:,预滤波,增大采样频率,(1).频谱混叠 对连续信号进行分,(2).,栅栏效应,1.,通过,DFT,来分析连续时间信号的频谱特性，而,DFT,是对,DTFT,在一个周期内的,N,点等间隔采样,2.,所以,DFT,的结果只能表示信号的频谱特性在一些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景,减轻栅栏效应（减小栅栏宽度）：,在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点，使 一 个 周 期 内 点 数 增 加,但 是 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据。,(2).栅栏效应1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱,(3),截断效应,实际中遇到的序列,x,(,n,),可能是无限长的，用,DFT,对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列,y,(,n,)=,x,(,n,),w,(,n,),，,w,(,n,),称为窗函数，长度为,N,。,w,(,n,)=,R,N,(,n,),称为矩形窗函数。,根据傅里叶变换的频域卷积定理，有,:,(3)截断效应,其中,对矩形窗数,w,(,n,)=,R,N,(,n,),，有,离散傅里叶变换-运用举例ppt课件,例如，,x,(,n,)=cos(,0,n,),，,0,=/4,其频谱为,Y(e,j,),与,X(e,j,),相比有两方面的差别：,（,1,）存在泄漏（谱的展宽）（,2,）谱间干扰（旁瓣引起）,例如，x(n)=cos(0n)，0=/4,其频谱,比较截断前、后的幅度谱的差别：,谱线加宽，频谱泄露,定义：,原来的离散谱线向两边展宽，这种将谱线展宽的现象称为频谱泄漏。,约束因素：,矩形窗的长度越长，展宽的宽度就越窄。,影响：,泄漏会使频谱模糊，谱的分辨率降低。,谱间干扰,出现原因：,频谱卷积以后存在着的旁瓣,影响：,降低谱分辨率,泄漏和谱间干扰统称为信号的截断效应。,减轻截断效应的方法,-,（1）适当加大窗口宽度；,（2）采用适当形状的窗函数截断,比较截断前、后的幅度谱的差别：,思考：减轻了栅栏效应，是不是就提高了频率分辨率？,思考：减轻了栅栏效应，是不是就提高了频率分辨率？,例,利用,FFT,对连续时间信号进行谱分析仅是一个近似的估计，现有一个,FFT,处理器，用来估算实数信号的频谱，要求指标：,频率分辨率为,F,5Hz,；,信号的最高频率,f,c,1.25kHz,；,FFT,的点数,N,必须是,2,的整数次幂。试确定：,(1),信号记录长度,T,P,；,(2),采样点间的时间间隔,