第十三章能量法ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十,三,章 能量法,第,13-1,能量法概念,第,13-2,应变能与余能的计算,第,13-3,互等定理,第,13-4,卡氏定理,第,13-5,利用卡氏定,理解超静定问题,第十三章 能量法第13-1 能量法概念,1,13-1,能量法概念,一、外力功与应变能（变形能）,弹性体在载荷作用下都要发生变形，载荷的作用点会相,应的产生位移。载荷在相应的位移上作功，称其为,外力功，,用符号,W,表示；弹性体将由于变形而储存能量，称其为,应变,能（变形能），,用符号,U,表示。,二、能量守恒原理,在弹性范围内，外力功,W,全部转变为变形能,U,(不考虑能量的损耗)。因此有,W=U,。,三、能量法,利用功和能的概念来解决变形体的位移、变形和内力,等计算的方法称为,能量法,。,13-1 能量法概念 一、外力功与应变能（变形能）,2,13-2,应变能与余能的计算,一、外力功,1.常力作功（,F,为恒力）,2.变力作功（,F,从0逐渐增加到最终值）,（线弹性体）,广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是线位移（,沿力方向的线位移,）；如广义力是力偶，相应的广义位移就是角位移（,在力偶作用处的角位移,）。,式中：,广义力（力、力偶）,广义位移（线位移、角位移）,13-2 应变能与余能的计算 一、外力功 1.,3,二、应变能及比能,（线弹性体）,1.轴向拉伸与压缩时应变能,u,为比能，即单位体积的变形能。,应变能：,比能：,a.轴力为常量：,b.轴力为变量：,dx,段的伸长为：,dx,段的应变能：,二、应变能及比能（线弹性体）1.轴向拉伸与压缩时应变能,4,比能：,整个杆内的应变能：,比能：,应变能：,2.纯剪切时的变形能,比能：整个杆内的应变能：比能：应变能：2.纯剪切时,5,3.圆轴扭转时的变形能,a.扭矩为常量,b.扭矩为变量：,应变能：,4.杆件受弯曲时的变形能,应变能：,应变能：,a.纯弯曲时：,3.圆轴扭转时的变形能 a.扭矩为常量 b.扭矩为变量,6,一般梁中各段弯矩,M,(,x,),不同。则上,面积分应分段进行，然后求出其总和。,应变能：,5.组合变形时的应变能,杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆件内同时有轴力,F,N,(,x,),，扭矩,M,n,(,x,),，弯矩,M,(,x,),和剪力,F,S,(,x,),存在。在忽略了剪力,F,S,(,x,),的影响后，整个杆件的应变能可表示为：,注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。,b.横力弯曲时（剪力,F,S,的影响忽略）,一般梁中各段弯矩M(x)不同。则上应变能：,7,解：,求各梁的变形能,从中可看出,a,b,c,例,试分别计算图示各梁的变形能,解：求各梁的变形能 从中可看出 abc例 试分别计算图示各梁,8,三、余功、余能,非线性弹性体,1、非线性弹性体,外力功和应变能,余功和余能,线性弹性体,2、线性弹性体,三、余功、余能 非线性弹性体1、非线性弹性体外力功,9,四、利用功能原理计算位移,利用 可以计算荷载作用点的位移，,此方法只限于单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相对应的位移。,解,1、内力分析,例,直角水平圆截面折杆,ABC,受力如图示。已知抗弯刚度为,EI,，抗扭刚度为,GIp,。试求,C,处的垂直位移。,BC,杆：,AB,杆：,四、利用功能原理计算位移 利用,10,3、利用功能原理求位移,总变形能为：,2、变形能计算,3、利用功能原理求位移 总变形,11,例,桁架如图所示，各杆EA相同，利用功能原理求D点的垂直位移。,解,1、各杆内力,2、应变能计算,例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用功能原理求D点的垂直位,12,3、,利用功能原理求位移,3、利用功能原理求位移,13,13-3,互等定理,一、弹性体的应变能与载荷的加载次序无关,先加,F,1,再加,F,2,先加,F,2,再加,F,1,应变能为：,应变能为：,上述的,力和位移,均为,广义力和广义位移,。位移的,第一个下标,表示,发生位移的位置,，,第二个下标,表示,引起该位移的载荷,。,13-3 互等定理一、弹性体的应变能与载荷的加载次序无关,14,三、位移互等定理,对于线弹性体，若载荷,F,1,和,F,2,数值相等，则,F,2,在点1沿,F,1,方向引起的位移 ，等于,F,1,在点,2,沿,F,2,方向引起的位移 。该定理称为,位移互等定理,。,如果 ，则,二、功的互等定理,令,U,1,=U,2,可得：,对于线弹性体，,F,1,在,F,2,处所引起的位移 上所作的功，等于,F,2,在,F,1,处所引起的位移 上所作的功。,该定理称为,功的互等定理,。,三、位移互等定理 对于线弹性体，若载荷F1和F2 数值,15,13-4,卡氏定理,非线性弹性体,一、卡氏第一定理(证明略),卡氏第一定理：,弹性结构的应变能对于结构上与某个载荷相对应的位移的偏导数，等于该载荷的数值。,二、余能定理（克劳迪-恩格塞定理）,弹性体在载荷作用下,F,1,，F,2,，F,n,，各载荷作用点沿载荷方向的,位移为 弹性体的余能 应等于外力的余功 ，即,13-4 卡氏定理 非线性弹性体一、卡氏第一定理,16,余能定理：,弹性结构的余能对作用在结构上的某个载荷的偏导数，等,于该载荷作用点沿该载荷作用方向位移。,若第,i,个载荷,F,i,产生一个微小增量,dF,i,，其他载荷值不变，则余功,增量为 ,相应的余能也有一个增量,余能的增量,应等于,余功的增量,证得：,余能定理：弹性结构的余能对作用在结构上的某个载荷的偏导数，等,17,三、卡氏第二定理,线性弹性体,对于线性弹性体：,由余能定理,可得：,卡氏第二定理：,线弹性结构的应变能对作用在结构上的某个载荷的偏,导数，等于该载荷作用点沿该载荷作用方向位移。,注意：,具体应用卡氏第二定理时，应变能必须表示为载荷的函数。,三、卡氏第二定理线性弹性体对于线性弹性体：由余能定理,18,四、卡氏第二定理的应用,式中：广义位移（线位移，角位移）,广义力（力、力偶）,1.对于桁架结构（各杆受拉或压）,四、卡氏第二定理的应用式中：广义位移（线位移,19,2、对于受扭圆轴,3.对于横力弯曲（不计剪力的影响）,4.对于组合变形（不计剪力的影响）,2、对于受扭圆轴 3.对于横力弯曲（不计剪力的影响）,20,例,桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求D点的垂直位移。,解,1、各杆内力,2、应变能计算,例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求D点的垂,21,3、利用卡氏第二定理求D点,的垂直位移,3、利用卡氏第二定理求D点,22,例,求图示梁,B,处的挠度和转角。,解,一、求,B,处挠度,由于,C,、,B,截面都作用着集中力,F,，为了将二个,F,区分开，可设作用在,B,处的,F,为,F,B。,BC,段：,AC,段：,例 求图示梁 B 处的挠度和转角。解 一、求 B 处,23,令：,F,B,=F,令：FB=F,24,AC,段：,BC,段：,二、,求,B,处的转角,由于,B,处没有相应的力偶与,转角相对应，可假设在,B,作用一,力偶,(,为附加力偶）。,AC段：BC段：二、求B 处的转角 由于,25,令 ，上式为：,令 ，上式为：,26,BC,：,AB,：,例,求图示刚架,C,点的垂直位移，,水平位移及转角。,解,（一）垂直位移,在,C,处加一附加力,BC：AB：例 求图示刚架 C 点的垂直位移，解（一）,27,令式中 ，则有,令式中 ，则有,28,BC,:,AB,:,（二）水平位移 ，在,C,处附加一水平力 （,见图b,）,图b,BC:AB:（二）水平位移 ，在C处附加一水,29,令：则有,BC,:,AB,:,令：则有 BC:AB:,30,（三）,C,处转角,图c,在,C,处附加一力偶 （,见图c,）,BC,:,AB,:,（三）C 处转角 图c在 C 处附加一力偶 （见图,31,令 ，则有,令 ，则有,32,13-5,利用卡氏第二定理解超静定问题,1、用多余约束反力代替多余约束（取,静定基，,原则：便于,计算）。,2、写出包含多余约束反力的应变能。,3、运用卡氏第二定理得出多余约束的约束条件，解出多余,约束反力。,4、根据静力平衡条件，解出超静定结构的其它所有约束反,力,。,5、计算结构的内力、应力、强度、变形、刚度。,利用卡氏定理,解超静定问题的步骤：,13-5 利用卡氏第二定理解超静定问题1、用多余约束反力,33,二、建立变形协调方程，求出多余约,束反力。,由,C,处的约束情况可知变形条件为：,解,一、解除多余约束，使超静定问题化简成如所示。为多余约束反力。,例,求图示超静定刚架的约束反力，,并绘,F,S,、,M,图（,轴力影响不计,）。,二、建立变形协调方程，求出多余约由 C 处的约束情况可知变形,34,BC,段：,AB,段：,BC段：AB段：,35,联立求解得：,(1),(2),化简得：,联立求解得：(1)(2)化简得：,36,三、求出其余约束反力,三、求出其余约束反力,37,四、绘,F,S,、,M,图,F,S,图,M,图,四、绘 FS、M 图FS 图M 图,38,