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第一章 直角三角形的边角关系,1,从梯子的倾斜程度谈起,第,1,课时,第一章 直角三角形的边角关系,1.,能够用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单计算,(,重点,),2.,理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系,.(,难点,),1.能够用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜,1.,正切与梯子的倾斜程度,如图,梯子斜靠在墙上,.,1.正切与梯子的倾斜程度,【,思考,】,(1)AB,1,C,1,与,AB,2,C,2,相似吗,?,为什么,?,提示,:,AB,1,C,1,与,AB,2,C,2,相似,.A=A,AC,1,B,1,=AC,2,B,2,=90,AB,1,C,1,AB,2,C,2,.,(2),如果改变,B,2,在梯子上的位置,那么,AB,1,C,1,与,AB,2,C,2,_,(,填“相似”或“不相似”,).,相似,【思考】(1)AB1C1与AB2C2相似吗?为什么?相似,(3),根据以上探究可知，无论,B,2,在梯子上的哪个位置，都有,(4),梯子的倾斜程度与上面的比值有何关系？,提示：,上面的比值越大，梯子越陡,.,(3)根据以上探究可知，无论B2在梯子上的哪个位置，都有,【,总结,】,(1),正切的定义,:,在,RtABC,中,如果锐角,A,确定,那么,A,的,_,与,_,的比便,随之确定,这个比叫做,A,的正切,记作,_,.,(2),梯子的倾斜程度与正切的关系,:,如果梯子与地面的夹角为,A,那么,tanA,的值,_,梯子越陡,.,对边,邻边,tanA,越大,【总结】(1)正切的定义:对边邻边tanA越大,2.,坡度,坡面的,_,与,_,的比称为坡度,(,或,_),山坡,的坡度常用,_,描述,.,铅直高度,水平宽度,坡比,正切,2.坡度铅直高度水平宽度坡比正切,(,打“”或“,”),(1),一个角所在的直角三角形越大，这个角的正切值也越,大,.(),(2),一个角的正切值只与这个角的大小有关,.(),(3),只有直角三角形中的角才有正切值,.(),(4),一个斜坡的坡角越大，坡度也越大,.(),(5),在,ABC,中，,(),(打“”或“”),知识点,1,求锐角的正切值,【,例,1】,已知,ABC,中，,AB=AC,，,BD,是,AC,边上的中线，,AB=13,，,BC=10.,求,tan DBC,的值,【,思路点拨,】,作高,AH,，,DFBC,求出,AH,的长求出,DF,的长,在,RtDBF,中求出,tan DBC,的值,.,知识点 1 求锐角的正切值,【,自主解答,】,过点,A,D,分别作,AHBC,DFBC,，垂足分别为,点,H,F.,AB=AC,，,AHBC,，,在,RtABH,中，,AHDF,，且,BD,是,AC,边上的中线，,在,RtDBF,中，,【自主解答】过点A,D分别作AHBC,DFBC，垂足分别,【,总结提升,】,利用定义求锐角的正切值的,“,三步法,”,1.,观察：观察所给的锐角是否在直角三角形中,.,2.,转化：如果所给的锐角不在直角三角形中，可通过作辅助线构造直角三角形或利用等量关系代换将锐角,“,转移,”,到直角三角形中,.,3.,求解：在直角三角形中求出这个角的对边与邻边的比值，就是这个角的正切值,.,【总结提升】利用定义求锐角的正切值的“三步法”,知识点,2,正切的应用,【,例,2】,如图，一段河坝的横断面为梯形,ABCD,，试根据图中的数据，求出坝底宽,AD,(i=CEED,，单位：,m),知识点 2 正切的应用,【,解题探究,】,1.ED,与,CE,有什么关系,?ED,的长是多少,?,提示,:,i=CEED=12,ED=2CE=24=8(m).,2.,如图,过点,B,作,BFAD,于,F,则四边形,BFEC,是什么形状的特殊,四边形,?EF,BF,的长是多少,?,提示,:,四边形,BFEC,是正方形,则,EF=BF=BC=4 m.,【解题探究】1.ED与CE有什么关系?ED的长是多少?,3.,可求出,AF,的长是多少？那么即可求出坝底宽,AD.,提示：,在,RtABF,中，由勾股定理可得：,根据以上探究，可得坝底,AD,AF+FE+ED,3+4+8,15(m),3.可求出AF的长是多少？那么即可求出坝底宽AD.,【,互动探究,】,在上题中，斜坡,AB,的坡度是多少？,提示：,在,RtAFB,中，因,BF=4,，,AF=3,，所以斜坡,AB,的坡度,为,【互动探究】在上题中，斜坡AB的坡度是多少？,【,总结提升,】,坡度的常见用法和两点注意,坡度的常见用法：,(1),坡度常和实际生活中的问题相结合，如拦水坝、开渠、修路等,.,(2),坡度常和梯形的知识相结合，解题时常把梯形转化为三角形和矩形求解,.,【总结提升】坡度的常见用法和两点注意,两点注意：,(1),坡度是两条线段的比值，不是度数,.,(2),坡度是铅直高度与水平宽度的比，而不是斜面距离与水平宽度,(,或铅直高度,),的比,.,两点注意：,题组一：求锐角的正切值,1.,如图，在,84,的矩形网格中，每个小正方形的边长都是,1,，,若,ABC,的三个顶点在图中相应的格点上，则,tan ACB,的值,为,(),题组一：求锐角的正切值,【,解析,】,选,A,如图，在网格中构造含有,ACB,的,RtACD,，,在该三角形中,【解析】选A如图，在网格中构造含有ACB的RtACD，,2.,某时刻海上点,P,处有一客轮，测得灯塔,A,位于客轮,P,的北偏东,30,方向，且相距,20,海里客轮以,60,海里,/,小时的速度沿北偏,西,60,方向航行 小时到达,B,处，那么,tan ABP,(),2.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东,【,解析,】,选,A,如图，在,PAB,中，,APB,60,30,90,，,PA,20,海里，,(,海里,),，,故,【解析】选A如图，在PAB中，APB6030,3.(2013,济南中考,),已知直线,l,1,l,2,l,3,l,4,，相邻的两条,平行直线间的距离均为,h,，矩形,ABCD,的四个顶点分别在这四,条直线上，放置方式如图所示，,AB=4,，,BC=6,，则,tan,的值,等于,(),3.(2013济南中考)已知直线l1l2l3l4，相,【,解析,】,选,C.,如图，作,AM,l,4,于点,M,，作,CN,l,4,于点,N,，,则,AM=h,，,CN=2h,，,ABM+BAM=90,，,四边形,ABCD,是矩形，,ABC=90,，,ABM+=90,，,BAM=,，,ABMBCN,，,BM=AM,tan=htan,，,【解析】选C.如图，作AMl4于点M，作CNl4于点N，,4.,在,ABC,中，,C=90,，,AB=5,，,BC=4,，则,tan A=_.,【,解析,】,由勾股定理，得,答案：,4.在ABC中，C=90，AB=5，BC=4，则tan,5.,如图，在,ABC,中，,AC,4,，,BC,3,，,CDAB,于点,D,，,BD,2,求,tan A,，,tan B,的值,.,5.如图，在ABC中，AC4，BC3，CDAB于点D,【,解析,】,在,RtBDC,中，,BC,3,，,BD,2,，,在,RtADC,中,【解析】在RtBDC中，BC3，BD2，,题组二：,正切的应用,1.,如图，在平地上种植树木时，,要求株距,(,相邻两树间的水平距,离,),为,4 m.,如果在坡度为,0.75,的,山坡上种树，也要求株距为,4 m,那么相邻两树间的坡面距离为,(),A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m,题组二：正切的应用,【,解析,】,选,A.,由题意可得,如图，,AC=4 m,，,tan A=0.75,则,故,BC=3 m,，,则,【解析】选A.由题意可得,2.(2013,聊城中考,),河堤横断面如图所示，堤高,BC=6 m,，迎水,坡,AB,的坡比为 则,AB,的长为,(),2.(2013聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC=6,【,解析,】,选,A.,在,RtABC,中，,【解析】选A.在RtABC中，,【,变式备选,】,河堤横断面如图所示，迎水坡,AB,的坡比为,AB,的长是,10 m,，则堤高,BC=_ m,【变式备选】河堤横断面如图所示，迎水坡AB的坡比为,【,解析,】,在,RtABC,中，,答案：,5,【解析】在RtABC中，,3.(2013,安顺中考,),在,RtABC,中，,则,ABC,的面积为,_.,【,解析,】,RtABC,中，,解得,CA=6,，,答案：,24,3.(2013安顺中考)在RtABC中，,4.,某人沿着有一定坡度的坡面前进了,10 m,，此时他与水平地面,的垂直距离为 则这个坡面的坡度为,_,【,解析,】,如图，,由勾股定理，得,斜坡,AB,的坡度,答案：,12,4.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面,5.,如图,拦水坝的横断面为梯形,ABCD,坝顶宽,AD=5m,斜坡,AB,的坡度,i=13(,指坡面的铅直高度,AE,与水平宽度,BE,的比,),斜坡,DC,的坡度,i=11.5,已知该拦水坝的高为,6m.,5.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽AD=5m,斜,(1),求斜坡,AB,的长,.,(2),求拦水坝的横断面梯形,ABCD,的周长,.,(,注意：本题中的计算过程和结果均保留根号,),(1)求斜坡AB 的长.,【,解析,】,(1),在,RtABE,中，根据勾股定理得，,答：斜坡,AB,的长为,【解析】(1),(2),过点,D,作,DFBC,于点,F,，,四边形,AEFD,是矩形,.,EF=AD=5 m.,又,(2)过点D作DFBC于点F，,BC=BE,EF,FC=18,5,9=32(m).,在,RtDCF,中，根据勾股定理得，,梯形,ABCD,的周长为,AB,BC,CD,DA,答：梯形,ABCD,的周长为,BC=BEEFFC=1859=32(m).,【,想一想错在哪？,】,如图，,ABC,中，,C=90,，,BC=6 cm,，,ABC,的面积是多少？,【想一想错在哪？】如图，ABC中，C=90，BC=6,
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