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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教学提示：,在空间中，直线与平面之间和两平面之间的相对位置可分为,平行、相交,及,垂直3,种情况。,学习要求：,掌握直线与平面之间和两平面之间3种相对位置关系的判定条件以及求其交点、交线的作法。,第四章 直线与平面、平面 与平面的相对位置,4.1 直线与平面、平面与平面平行,直线,L,与,P,平面内的直线,AB,平行，则,L,平行于平面,P,。反之，如果直线,L,平行于,P,平面，则在平面,P,可以找到与直线,L,平行的直线。,检查一平面是否平行于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直线平行。,一、直线与一般平面平行,【例1】过,C,点作平面平行于已知直线,AB,。,【分析】如图所示，过,C,点作,CD,/,AB,，即,cd,/ab,cd,/,a,b,，再过点,C,任作一直线,CE,，即,ce,，,ce,，则,CD、CE,相交决定的平面为所求。,a,b,c,c,a,b,X,O,O,X,b,a,c,c,b,a,d,e,e,d,二、直线与投影面垂直面平行,直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂,直面的积聚投影平行。,【例2】过,E,点作直线平行于平面ABCD,。,【分析】过,e,作,ef/ad,，过,f,向上作连系线，则过,e,与连系线相交的直线都为所求，此处我们取其中一条，即过,e,作,cd,的平行线，与连系线相交于一点即为,f。,b,a,c,d,a,d,c,b,e,b,a,c,d,a,d,c,b,e,f,e,e,f,O,X,O,X,三、两一般平面相互平行,若一个平面上的一对相交直线，分别与另一个平面上的一相交直线互相平行，则这两个平面互相平行。,【例3】已知,A,点和,DEF,，过,A,作一平面平行于,DEF,。,【分析】如图4.6（,b,）所示，过,A,点作两条直线,AB,和,AC,，使,AB,/,DE,AC,/,DF,即,a,b/,de,，,ab,/,de,ac,/,df,ac,/,d f,，则,AC,和,AB,所决定的平面即为所求。,X,O,O,X,a,d,e,f,b,c,c,b,a,d,e,f,f,e,d,f,e,d,a,a,四、两投影面垂直面相互平行,当两个投影面垂直面,P,与,Q,相互平行时，它们的积聚投影，即它们与该投影面的交线，也相互平行。,【例4】过线段,AB,作平面平行于平面,CDE,。,【分析】由已知可得，,CDE,为铅垂面，且,ab/cde,，过,a,作,am/cd,连 接,bm,，则,AMB,即为所求。,a,b,b,a,c,c,d,d,e,e,a,b,b,a,c,c,d,d,e,e,m,m,X,O,X,O,一、直线和一般平面垂直,4.2 直线与平面、平面与平面垂直,直线与平面垂直的几何条件是：,若直线垂直于平面内的两相交直线，则该直线与平面垂直。,反之，若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内的所有直线。,注意：,在投影图上作平面的垂线时，可作出,平面上的正平线和水平线,作为面上的相交二直线。,根据两直线垂直的直角投影特性可知，所作垂线与正平线所夹的直角，在,V,面投影仍反映为直角。垂线与水平线所夹的直角，在H面投影仍反映为直角,。,【例5】如图4.10（,a,）所示，过,E,点作平面,Q,的垂线。,【分析】,如图4.10（,b,）所示，要过,E,作平面,Q,的垂线，可先作出,Q,平面上正平线,AB,和水平线,CD,的两面投影,ab,，,cd,，,ab,，,cd,；,过,e,，,e,分别垂作,eh,cd,，,eh,a,b,，,EH,即为所求垂线。,e,e,q,q,e,b,a,d,c,c,d,a,b,e,h,h,q,q,二、直线和投影面垂直面垂直,直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平面所垂直的投影面，该面的积聚投影与该垂线的同面投影相互垂直。,【例6】过,E,点作平面,ABCD,的垂线。,【分析】如图所示，平面,ABCD,为铅垂面，在,H,面积聚为一条线段，要作铅垂面的垂线，只需作出其,H,面投影的垂线即可。与铅垂面垂直的直线均为水平线，因此，所求垂线的,V,面投影一定为平行于,OX,轴直线。,b,a,c,d,a,d,c,e,e,b,作图步骤：,过,e,点作,em,ad,，则,em,即为所求垂线的,H,面投影。过,e,作,OX,轴的平行 线，过,m,向上作连系线，两者交于一点,m,，则,em,即为所求垂线的,V,面投影。,b,a,c,d,a,d,c,b,e,m,e,m,【例7】作正垂面垂直于正平线,CD,。,【分析】,要作正垂面垂直于正平线，只需在,V,投影面作,cd,的垂线，在此垂线上我们 定点,a、b、m,，向下作连系线，可确定平面,ABM,即为所求正垂面。,d,c,d,c,d,c,d,c,a,m,b,a,b,m,三、,两平面相互垂直,两平面垂直的几何条件是：若一平面上有一直线与另一平面垂直，则两平面相互垂直。如图所示，因,P,平面中一条直线,L,垂直于平面,Q,则,P,Q,。,在特殊情况下，当两平面都是同一投影面的垂直面时，则两平面的垂直关系可直接在两平面的积聚投影中表现出来。,【例8】过点,A,作平面,ABC,垂直于,DEF,且平行于,MN,。,【分析】,作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含所作垂线作平面即可。因又要求平面平行于直线,MN,，故作另一直线平行于,MN,即可,。,d,e,f,d,e,a,c,k,m,n,g,h,g,h,X,a,c,f,k,m,n,o,作图步骤：,过,A,点作直线垂直于,DEF,。先在,DEF,内作水平线,DG,和正平线,EH,，然后过,A,作直线,AK,与水平线和正平线垂直，即,ak,fg,，,ak,dh,。则,AK,即与,DEF,垂直。,包含,AB,作平面平行于,MN,。即作一直线,AC,，使,ac,/,mn,ac,/,mn,则直线,AK,与,AC,所组成的平面平行于直线,MN,。,4.3,直线与平面、平面与平面相交,直线与平面相交于一点，该点称为,交点,，,交点是平面与直线的共有点，它既在直线上又在平面上。,平面与平面相交于一条直线，该直线称为,交线,，,交线是两平面的共有线，它应同属于两平面。,直线与平面、平面与平面相交的求解方法一般有两种。,（1）,积聚投影法,：当直线或平面有积聚投影时，可利用积聚投影来求交点或交线。,（2）,辅助面投影法,：当直线或平面均无积聚投影时，可利用辅助平面来求交点或交线。交点、交线是互相联系的，为叙述方便起见，先介绍几种特殊情况，然后再讨论一般的作图方法。,一、一般位置直线与特殊位置平面相交,由于平面处于特殊位置时，其某一投影具有积聚性因此可利用其积聚投影来求交点，并判别可见性。,如图所示，一般线,AB,与铅垂面,P,相交，交点,K,既在,AB,上又在,P,平面上。,【,例9,】求直线,AB,与平面,P,的交点,K,，并判别可见性。,b,a,p,X,O,p,a,b,【分析】平面,P,为铅垂面，因此直线,AB,与平面,P,的交点的投影必在平面,P,的,H,面积聚线段上，又因为交点是两者的公共点，所以,p,与,ab,的交点,k,既为所求交点的,H,面投影，由此作连系线，再与,ab,交得,k,。,X,O,p,a,p,a,b,b,1,2,k,1(2),k,作图步骤：,1、判断交点的H面投影位置。,2、作出交点的V面投影。,3、判断交点两侧直线的可见性。,（1）可见部分与不可见部分的分界点为交点,K,，从水平投影中可以看出，在,k,点的右边，,ab,在,p,的前面，因此,k,的右边,ka,为可见，左边,kb,为不可见。,（2）也可用重影点来判断，即取,AB,与平面,P,边线的重影点,1,（2,），,其在,H,面上的投影1在2的前方，故由前向后看，2点不可见，其所在的直线段2,k,不可见，因而2,k,画为虚线。）,二、投影面垂直线与一般位置平面相交,由于直线具有积聚性，因此可利用其积聚投影来求交点，并判别可见性。,如图所示，铅垂线,AB,与平面,CDE,相交，交点,K,既在,AB,上又在,CDE,平面上。,【例10】求直线,AB,与,CDE,的交点,K,，并判别可见性。,b,k,c,e,d,e,d,c,a,O,X,1,3,2,2(3),k,1,作图步骤：,（1）求交点,因直线,AB,在,H,面积聚成一点，则交点,k,必在其上，且交点,K,又在,CDE,上，可根据平面上取点的方法作辅助线,D,I,然后求出,k,。,（2）判断可见性,取交叉两直线的重影点II、III，从,H,面可知，2在前，3在后，在,V,投影面上为2（3）。因II在,CDE,上，而III在直线,AB,上，故,kb,不可见，应画虚线。,三、两特殊位置平面相交,当两平面均垂直于某投影面时，它们的交线也垂直于该投影面。可利用两平面的积聚投影求交线，并判别可见性。,【例11】求,ABC,与平面,P,的交线,MN,，并判别可见性。,p,a,c,p,b,c,a,O,X,1,2,m(n),1(2),n,m,作图步骤：,（1）求交点,如图所示，因,ABC,与平面,P,均垂直于,H,面，故交线必为铅垂线，且积聚于一点,m(n),，然后作出此交线的,V,面投影,mn,，它的长度仅为两平面在,V,面的,共有部分,。,（2）判断可见性,在,V,面投影中，取交叉两直线的任一重影点I、II，判断可见性1（2），从,H,面可知，1在前，2在后，因1在,ABC,上,而2在平面,P,上，故,an,可见为实线。这时交线,mn,为可见与不可见的分界线。,四、一般位置平面与特殊位置平面相交,一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性投影,求交线，并判断可见性。,铅垂面,P,与,ABC,相交，由于,P,面的,H,面投影积聚为,p,，交线,MN,的,H,投影,mn,在,p,上；交线,MN,既在,ABC,上又在平面,P,上。利用平面的积聚投影求交线，并判别可见性。,【例12】求,ABC,与平面,P,的交线,MN,，并判别可见性。,1,2,m,n,m,n,1(2),作图步骤：,如图所示，因平面,P,垂直,H,面，故交线,mn,必在,p,上，为,abc,与,p,的公共部分，交点为,mn,利用交线,MN,在,ABC,上，由,mn,求,mn,。利用,V,面的重影点1（2）来判别可见性。,m,1(2),m,n,b,a,c,p,a,c,p,b,n,1,2,X,O,五、一般位置直线与一般位置平面相交,直线与一般位置平面相交。由于一般位置直线、平面的投影没有积聚性，因此，在投影图中不能直接求出它们的交点。,直线,AB,与平面,CDE,相交，由于交点,K,是平面与直线的共有点，故过,K,点可在平面,CDE,内任作一直线,MN,，直线,MN,与已知直线,AB,可构成一个辅助平面,R,，而,MN,就是辅助平面与已知平面的交线。,MN,与直线,AB,的交点,K,即为已知直线与平面的交点。,由此可得出利用辅助平面求一般位置的直线与平面交点的作图方法：,(1)包含,AB,直线作一辅助平面,R,;,(2)求辅助平面,R,与己知平面,CDE,的交线,MN,；,(3)求,AB,直线与交线,MN,的交点,K,。,【例13】已知直线,DE,和,ABC,的两投影，试求,DE,和,ABC,的交点。,作图步骤：,过,DE,作铅垂面,P,。可在投影图上延长,de,，加上标记,P,H,。,求,P,和,ABC,的交线,FG,fg,和,f,g,即为交线的两面投影。,f,g,与,d,e,相交于点,k,，从,k,引铅直连线与,de,相交于,k,，则,k、k,即为所求交点的两面投影。,判别可见性,整理如图。,六、,一般位置平面与一般位置平面相交,两一般位置平面相交。求两一般位置平面的交线时，可选其中一个平面内的任一直线，求出它与另一平面的交点，即得交线上的一个点。用同样方法求出另一个点，两点连线即为两平面的交线。,【例14】求两一般位置平面,ABC,与,DEF,的交线。,e,f,d,c,
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