三垂线定理及其典型例题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,三垂线定理,a,A,P,o,1,.,三垂线定理aAPo1.,复习提问,：,1。直线与平面垂直的定义。,2。直线与平面垂直的判定定理。,3。证明线面垂直的方法。,4。证明线线垂直的方法。,2,.,复习提问：1。直线与平面垂直的定义。3。证明线面垂直的方法。,一、射影的概念,定义：,自一点P向平面引垂线，垂足P,1,叫做,P,在,平面内的正射影（简称射影）。,.P,如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F,1,，则F,1,叫做图形F在这个平面内的射影。,思考：,1。两条异面直线在同一平面内的射影的位置关系如何？,2。一个三角形在另一平面中的射影可能是什么图形？,3,.,一、射影的概念定义：自一点P向平面引垂线，垂足P1 叫做P,二、平面的斜线、垂线、射影,如果a ,aAO，,思考a与PO的位置关,系如何？,a,A,P,o,PO是平面的斜线,O为斜足;,PA是平面的垂线,A为垂足;,AO是PO在平面内的射影.,三垂线定理,4,.,二、平面的斜线、垂线、射影 如果a ,aAO,性质定理,判定定理,性质定理,线面垂直,线线垂直,线面垂直,线线垂直,PO 平面PAO,aPO,结论：aPO,二、三垂线定理：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,为什么呢？,PA,a ,PAa,AOa,a平面PAO,三垂线定理,P,a,A,o,5,.,性质定理判定定理性质定理线面垂直线线垂直线面垂直线线垂,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和,平面内的一条直线垂直的判定定理。,对三垂线定理的说明：,三垂线定理,用法：,PA，a ，AO是斜线PO在平面内的射影，aAO aPO,P,a,A,o,思考：,如果把定理中的条aAO与结论aPO互换，命题是否成立？,6,.,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a,P,a,A,o,三垂线定理的逆定理：,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。,用法：,PA，a ，AO是斜线PO在平面内的射影，aPO aAO,说明：,三垂线定理及其逆定理是证明线线垂 直的重要方法。,7,.,PaAo三垂线定理的逆定理：用法：说明：三垂线定理及其逆定,例题分析：,1、判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面,内的射影，则ab。(),2定理的关键找“平面”这个参照学。,强调：1四线是相对同一个平面而言,(2)若a,是平面,的斜线，b是平面,内的直线，,且,b,垂直于,a,在,内的射影，则ab。(),三垂线定理,8,.,例题分析：1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面的,2、如图，已知正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，连结BD,1,，,AC，CB,1,，B,1,A，求证：BD,1,平面AB,1,C,ABCD是正方形，ACBD,又DD,1,平面ABCD,BD是斜线D,1,B在平面ABCD上的,射影,AC在平面AC内，BD,1,AC,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,而AB,1,，AC相交于点A且都在平面,AB,1,C内 BD,1,平面AB,1,C,证明：,连结BD，,请同学思考：如何证明D,1,BAB,1,连结A,1,B,三垂线定理,9,.,2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结B,关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。,至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,从三垂线定理的证明得到证明ab的一个程序：一垂、,二射、三证。即,第一、找平面(基准面)及平面垂线,第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与,一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。,10,.,关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。,例3.,如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。,A,B,C,O,P,E,F,已知：BAC在平面内，点在外，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF,求证：BAO=CAO,证明：连接PA，OE，OF PEAB，PFAC，PO，,ABOE，ACOF（三垂线定理的逆定理）,PE=PF，PA=PA，Rt PAERt PAF。,AE=AF又AO=AO，Rt AOERt AOF。,BAO=CAO,11,.,例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点,例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角,器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解：,在道边取一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20cm,B,A,C,90,D,45,三垂线定理,12,.,例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角,B,A,C,90,D,45,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20cm BC=20m，,在直角三角形ABC中,AC,2,=AB,2,+BC,2,，AC=15,2,+20,2,=25(cm),答：电塔顶与道路的距离是25m。,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,三垂线定理,13,.,BAC90D45 BC是AC的射影 且CDBC,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果,和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也,和这条斜线垂直。,小 结,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理关键是找“基准面”这个参照系,三垂线定理,14,.,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果小 结3,AH为PA在平面ABC内的射影,BCAH,在RtPBC中，PE=-=-,在RtAPE中，AE=PA,2,+PE,2,=9+-=-,46,4,2,+6,2,12,13,144,13,2 29,2 29,13,例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，,PC=6，求点P到平面ABC的距离。,A,P,C,B,E,H,解:,作PH平面ABC，,连AH交BC于E，连PE,PA、PB、PC两两垂直,PA平面PBC PABC,三垂线定理,15,.,AH为PA在平面ABC内的射影4642+621213144,