对流方程差分法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,对流方程的差分法,一、研究对象,1.,研究的对象,对流,方程（一阶双曲型）,.,易见，此方程有精确解,事实上，由 知，,当 时，就有,.,即存在一族特征线,其中,为任意常数，,使得在这样的特征线上有 ，也就是,u,值为常数。,x,t,.,.,O,要获得在,x-t,平面上的任意一点,处的函数值，,只要将其沿特征线投影到,x,轴上，得到投影点 ，,则,.,考虑一,维双曲型对流方程,：,1,.,区域剖分,(,区域离散）,将原方程,的上半平面求解,区域分割成矩形一致网格。,h,空间步长，,时间步长，,网格,节点，,2.,原方程弱化为节点处的离散方程,3.,处理方程 中的偏导数,对偏导数用不同的差商近似将建立不同的差分格式。,下面进行具体的讨论。,：关于时间、空间的,一阶,偏导数都用,向前差商近似，,误差为,误差为,将上面的式子代入离散方程，可得,二、迎风格式（,Upwind Scheme,）,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立,以下,差分格式,：,可见上述格式的局部截断误差为,4,.,差分格式的求解,时间,渐进显格式,5.,用谐波分析方法利用增长因子来讨论稳定性。,设 ，相当于对数值解进行变量分离，,对数值格式稳定性的考察现在就转化为对振幅,是否,会放大进行讨论。,如果 则,G,就称为增长因子，且,是数值格式稳定的充要条件，也称为,Von Neumann,条件。,现在研究上述格式的稳定性。,易见，,从而,为使数值格式稳定，则增长因子,G,必须满足,从而获得原格式的稳定性条件,即 且,：关于时间、空间的一阶偏导数分别利用一阶向前,差商和一阶向后差商近似，即有,，,误差为,误差为,再将上述近似代入离散方程，可得,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立,以下,差分格式,：,可见上述格式的局部截断误差为,上述格式还可简写为,也不难得到此格式的增长因子为,从而有稳定性条件要求,即 且,综上，我们有以下迎风格式：,a,0,时,且稳定性条件为,这样我们可以根据原方程中系数,a,的符号来选取恰,当的步长及合适的数值格式。迎风格式实际上是在双,曲型方程离散的过程中将关于空间的偏导数用在特征,方向一侧的单边差商来代替，体现了原方程中波的传,播方向，它们都是一阶格式。事实上，原方程含有未,知函数关于空间的一阶偏导数项，也就是对流项，尽,管在数学理论上对这个一阶偏导数进行离散是没有什,么特殊困难的，但在物理过程看却不是这样，因为对,流作用带有强烈的方向性，所以对流项的离散是否合,适直接影响数值格式的性能，这也就说明了迎风格式,之所以有效是因为使用了单边差商。,：前面讨论了关于时间和空间的一阶偏导数均用,一阶差商近似的情况，接下来容易想到可以对空间,的偏导数采用二阶中心差分来近似，从而有,误差为,误差为,再将上述近似代入离散方程，可得,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立,以下,差分格式,：,可见上述格式的局部截断误差为,上述格式还可简写为,也不难得到此格式的增长因子为,显然对任何 都有,从而数值格式完全不稳定。,三、蛙跳格式（,Leap-Frog Scheme,）,：对上述不稳定情形进行改进，容易想到对时间和,空间的偏导数都采用二阶中心差分来近似，从而有,误差为,误差为,再将上述近似代入离散方程，可得,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立,以下,蛙跳格式,：,可见上述格式的局部截断误差为,上述格式还可简写为三层格式,也不难得到此格式的增长因子为,当且仅当 时，从而,Von Neumann,条件满足，数值格式稳定。,蛙跳格式是个三层格式，不能自启动，需要与其它,方法（二阶方法）联合。,四、,Lax-Friedrichs,格式,：在情形中修改关于时间的一阶偏导数，将,用其左右相邻两节点的算术平均来近似，,就是取,关于空间的一阶偏导数仍用二阶中心差分，即,再将上述近似代入离散方程，可得,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立,以下,Lax-Friedrichs,格式,：,易见，其局部截断误差为,.,Lax-Friedrichs,格式,可以改写为,利用分解式可以得到其增长因子为,从而,可见，当 时就有 ，从而数值格式稳定。,根据局部截断误差 知，,当,取定为常数时，,Lax-Friedrichs,是一阶格式。,下面介绍一个二阶格式，通过泰勒公式及原方程变形而获得。,五、,Lax-Wendroff,格式,再根据泰勒公式就有,上式中一阶、二阶偏导都用中心差分来近似，,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立,以下,Lax-Wendroff,格式,：,易见，其局部截断误差为,.,Lax-Wendroff,格式可简记为：,利用分解式 容易得到其增长因子为,稳定性要求,从而获得,Lax-Wendroff,格式的稳定性条件,最后再介绍一个二阶的,Beam-Warming,格式，本质,上它充分考虑了迎风格式的“迎风”特点，同时借用,Lax-Wendroff,格式的设计思想提高了精度。,六、,Beam-Warming,格式,先讨论,a,0,的情况。,取其中的一阶偏导为迎风的形式且兼顾高阶项，即,同样地，再取迎风的二阶偏导，即,把上面两式都代入原来的,(*),式，就有,将数值解 代替精确解 并忽略高阶小项，则可以建立,以下,a,0,时的,Beam-Warming,格式：,其稳定性条件为,.,编程实现,的基本环节,第一步，参数设置，如剖分数,，节点,坐标，,a,已知函,数,(,x,),时间、空间步长等。,第二步，,初始条件,确定,第三步，循环,：用时间渐进显格式求解各时间层信息。,第四步，输出,七、,数值算例,例,.,数值求解一阶对流方程初值问题,其中，初值 在,x,=0,处间断。,取空间步长和时间步长分别为,.,且对应上述空间、时间步长的选取易得,r,=0.5.,给出时刻,t,=0.5,时,区间,0,1,内数值解的图像。,精确解为：,迎风格式、,Lax-Friedrichs,格式、,Lax-Wendroff,格式、,Beam-Warming,格式,数,值,解,图,像,八、隐格式的设计,前面介绍的若干数值格式都是显格式，从而必须,附带稳定性条件成立才能保证数值解最终收敛到,精确解。而事实上隐格式通常稳定性较好，所以,可以考虑设计隐格式来求解。,修改关于时间的一阶偏导，向前差商换为向后差商！,